Derivata

La derivata di una funzione $f(x)$ in un punto $x_0$ è definita come il limite

$f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}$

a condizione che tale limite esista. Geometricamente è la pendenza della retta tangente in $(x_0, f(x_0))$; fisicamente è il tasso di variazione istantaneo della quantità rappresentata da $f$.

Le derivate sono lineari (la derivata di una somma è la somma delle derivate), e un piccolo insieme di regole — potenza, prodotto, quoziente, catena — consente di derivare meccanicamente la maggior parte delle funzioni elementari senza tornare ogni volta alla definizione tramite limite.

Le derivate sono fondamentali per l’ottimizzazione (trovare massimi e minimi), per la fisica (la velocità è la derivata della posizione, l’accelerazione della velocità), per l’apprendimento automatico (discesa del gradiente) e per l’economia (costo / ricavo marginale).