Funzioni parametriche vs implicite

Le forme parametrica e implicita sono due modi di descrivere curve che non rientrano nella semplice forma "$y$ come funzione di $x$".

Parametrica

Una forma parametrica esprime sia $x$ sia $y$ come funzioni di una terza variabile $t$ (il parametro, spesso il tempo):

$x = f(t), \quad y = g(t)$

Esempio: una circonferenza di raggio 1: $x = \cos t$, $y = \sin t$ per $t \in [0, 2\pi]$.

Punti di forza: descrive naturalmente il moto (ogni $t$ dà una posizione), gestisce banalmente cappi e auto-intersezioni.

Implicita

Una forma implicita usa una sola equazione:

$F(x, y) = 0$

La stessa circonferenza: $x^2 + y^2 - 1 = 0$.

Punti di forza: equazione algebrica unica, facile verificare se un punto sta sulla curva (basta sostituire e controllare).

Quando usare quale

Situazione	Forma migliore
Moto / traiettoria	Parametrica
Serve la differenziazione implicita	Implicita
Curva con auto-intersezioni	Parametrica
Manipolazione algebrica / simbolica	Implicita
Tracciamento tramite valori di $t$	Parametrica

Esempio svolto: derivata

Per la circonferenza $x^2 + y^2 = 1$:

• Differenziazione implicita: $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$, quindi $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$.
• Parametrica ($x = \cos t$, $y = \sin t$): $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{\cos t}{-\sin t} = -\frac{\cos t}{\sin t} = -\frac{x}{y}$. ✓

Entrambe danno la stessa risposta; cambia la procedura.

Conversione

A volte si può convertire tra le forme eliminando il parametro (parametrica → implicita) o parametrizzando (implicita → parametrica). Non sempre possibile in modo pulito.