Derivata vs differenziale

Derivata e differenziale sono oggetti matematici strettamente correlati ma distinti, e confonderli è la fonte di molti errori sottili nel calcolo.

Derivata

La derivata $f'(x)$ (o $\frac{dy}{dx}$) è una funzione che dà il tasso di variazione di $f$ in ogni $x$. Per $f(x) = x^2$, $f'(x) = 2x$.

Numericamente: in $x = 3$, $f'(3) = 6$ — la pendenza della tangente in quel punto.

Differenziale

Il differenziale $dy$ è una variazione infinitesima di $y$ corrispondente a una variazione infinitesima $dx$ di $x$:

$dy = f'(x) \, dx$

Per $y = x^2$: $dy = 2x \, dx$.

I differenziali permettono di scrivere le derivate come rapporti di infinitesimi — utile nella sostituzione (sostituzione $u$ negli integrali: $du = u'(x) dx$) e nella separazione delle variabili delle equazioni differenziali.

Quando la differenza conta

Negli integrali: $\int 2x \, dx$ usa il differenziale $dx$, non la derivata.

Nella differenziazione implicita: da $x^2 + y^2 = 25$, prendi i differenziali: $2x \, dx + 2y \, dy = 0$, poi risolvi per $\frac{dy}{dx}$.

In fisica: $dW = F \, dx$ (lavoro come differenziale), non "il lavoro è uguale alla derivata della forza".

Approssimazione lineare

$dy$ funge anche da approssimazione lineare di $\Delta y$ (la variazione effettiva) per $dx$ piccolo:

$\Delta y \approx dy = f'(x) \, dx$

Questa è la base della propagazione degli errori, del metodo di Newton e del fondamento di approssimazione lineare di tutto il calcolo.

Verdetto

Usa la derivata $f'(x)$ quando vuoi un tasso / una funzione. Usa il differenziale $dy = f'(x) dx$ quando vuoi una variazione infinitesima, soprattutto negli integrali, nella sostituzione o nelle ED.