Quadrilateri — formule dell’area

Quadrato

$A = s^2$

Lato al quadrato. Un quadrato è un rettangolo con lati uguali, quindi $A = l\cdot w$ diventa $s^2$ .

Rettangolo

$A = l \cdot w$

Lunghezza × larghezza. Argomento di piastrellatura unitaria: un rettangolo con lati interi $l\times w$ contiene esattamente $lw$ quadrati unitari.

Parallelogramma

$A = b \cdot h$

Base × altezza perpendicolare — non il lato obliquo. Taglia il triangolo a un’estremità e fallo scorrere all’altra: il parallelogramma diventa un rettangolo.

Rombo

$A = \tfrac{1}{2} d_1 d_2$

Metà del prodotto delle diagonali — le diagonali si bisecano ad angolo retto, dividendo il rombo in quattro triangoli rettangoli congruenti.

Trapezio

$A = \tfrac{1}{2}(a + b)\,h$

Media delle due basi parallele $a,b$ per l’altezza $h$ . Incolla due copie testa-coda: ottieni un parallelogramma di base $a+b$ .

Aquilone

$A = \tfrac{1}{2} d_1 d_2$

Stessa formula del prodotto delle diagonali del rombo — l’aquilone è la forma più generale le cui diagonali restano perpendicolari.

Triangoli — in base ai dati noti

Base e altezza

$A = \tfrac{1}{2} b h$

Metà base × altezza — vale per qualsiasi triangolo. Due copie formano un parallelogramma di base $b$ e altezza $h$ .

Formula di Erone (tre lati)

$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)},\ s = \tfrac{a+b+c}{2}$

Usa quando hai solo i tre lati e nessuna altezza. $s$ è il semiperimetro.

Due lati e angolo compreso (SAS)

$A = \tfrac{1}{2} a b \sin C$

Traccia l’altezza dal terzo vertice: vale $a\sin C$ , restituendo la classica $\tfrac{1}{2}\cdot\text{base}\cdot\text{altezza}$ .

Triangolo equilatero

$A = \tfrac{\sqrt{3}}{4} a^2$

Caso particolare di SAS con $a=b$ e $C = 60^{\circ}$ ; $\sin 60^{\circ} = \tfrac{\sqrt{3}}{2}$ dà la costante $\tfrac{\sqrt{3}}{4}$ .

Cerchi e figure curve

Cerchio

$A = \pi r^2$

Pi greco r al quadrato. Si ottiene integrando la circonferenza $2\pi r$ al crescere di $r$ da 0 — derivazione ad "anelli di cipolla".

Settore circolare

$A = \tfrac{1}{2} r^2 \theta$

Angolo $\theta$ in radianti. È la frazione $\theta / (2\pi)$ dell’area totale $\pi r^2$ .

Corona circolare

$A = \pi (R^2 - r^2)$

Area del cerchio esterno meno area del cerchio interno — il buco centrale viene sottratto, non misurato.

Ellisse

$A = \pi a b$

Semiasse maggiore $a$ per semiasse minore $b$ per $\pi$ . Con $a = b = r$ si torna a $\pi r^2$ : il cerchio è un’ellisse con assi uguali.

Poligoni regolari & coordinate

Poligono regolare (n lati)

$A = \tfrac{1}{2} P a$

$P$ è il perimetro, $a$ è l’apotema (distanza dal centro al lato). Scomponi in $n$ triangoli congruenti e la formula segue.

Esagono regolare

$A = \tfrac{3\sqrt{3}}{2} a^2$

Un esagono regolare è esattamente sei triangoli equilateri di lato $a$ : $6 \cdot \tfrac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \tfrac{3\sqrt{3}}{2} a^2$ .

Coordinate (formula del laccio)

$A = \tfrac{1}{2}\left|\sum_{i=1}^{n} (x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i)\right|$

Inserisci le coordinate dei vertici $(x_i, y_i)$ in ordine, chiudendo il ciclo ( $x_{n+1}=x_1$ ). Vale per qualsiasi poligono semplice — niente triangolazione.

Area Formulas