Tassi correlati: una strategia di risoluzione ripetibile in 6 passi

I problemi di tassi correlati sembrano astratti — "una scala scivola lungo una parete, quanto velocemente cade la sua estremità superiore?" — ma seguono tutti lo stesso schema in sei passi. Padroneggia la ricetta e questi problemi passano da terrificanti a meccanici.

La ricetta in 6 passi

1. Leggi il problema due volte e individua ogni grandezza. Fanne uno schizzo.
2. Etichetta con lettere le grandezze che cambiano; con numeri le costanti.
3. Trova un'equazione che mette in relazione le grandezze che cambiano (geometria, Pitagora, triangoli simili, area, volume…).
4. Deriva entrambi i membri rispetto al tempo $t$ in modo implicito. Ogni grandezza che cambia contribuisce con un termine $\frac{d \cdot}{dt}$.
5. Sostituisci i valori dell'istantanea solo dopo aver derivato. Sostituire troppo presto distrugge l'informazione sui tassi.
6. Risolvi per il tasso incognito e ricontrolla le unità di misura.

Esempio 1: la scala che scivola

Una scala di 13 ft è appoggiata a una parete. La sua base scivola verso l'esterno a 2 ft/s. Quanto velocemente l'estremità superiore scivola verso il basso quando la base è a 5 ft dalla parete?

1. Variabili: $x$ = distanza della base, $y$ = altezza dell'estremità superiore. Entrambe cambiano con $t$.
2. Vincolo: $x^2 + y^2 = 169$ (Pitagora — la lunghezza della scala è costante).
3. Deriva: $2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0$.
4. Istantanea: $x = 5$, quindi $y = \sqrt{169 - 25} = 12$. Dato $\frac{dx}{dt} = 2$.
5. Risolvi: $2(5)(2) + 2(12)\frac{dy}{dt} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dt} = -\frac{20}{24} = -\frac{5}{6}$ ft/s.

L'estremità superiore cade a $5/6$ ft/s. Il segno negativo significa che l'altezza sta diminuendo — la verifica di plausibilità è superata.

Esempio 2: il cono che si riempie d'acqua

L'acqua scorre dentro un cono (con il vertice in basso) a $3 \text{ ft}^3/\text{min}$. Il cono ha altezza 10 ft e raggio superiore 4 ft. Quanto velocemente sale il livello dell'acqua quando la profondità è 6 ft?

1. Variabili: $V$ = volume d'acqua, $h$ = profondità dell'acqua, $r$ = raggio della superficie dell'acqua.
2. Volume del cono: $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$. Usa i triangoli simili: $r/h = 4/10 \Rightarrow r = 0.4h$.
3. Sostituisci per ottenere una sola variabile: $V = \frac{1}{3}\pi (0.4h)^2 h = \frac{0.16\pi}{3} h^3$.
4. Deriva: $\frac{dV}{dt} = 0.16\pi h^2 \frac{dh}{dt}$.
5. Sostituisci $h = 6$, $\frac{dV}{dt} = 3$: $3 = 0.16\pi (36) \frac{dh}{dt}$.
6. Risolvi: $\frac{dh}{dt} = \frac{3}{5.76\pi} \approx 0.166$ ft/min.

Errori comuni

• Sostituire i numeri troppo presto — le derivate "congelano" la relazione; perdi l'informazione su come le cose cambiano.
• Dimenticare la regola della catena quando si deriva qualcosa come $r^2$ — diventa $2r \frac{dr}{dt}$, non $2r$.
• Non eliminare le variabili in eccesso con i triangoli simili prima di derivare.

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Usa il Calcolatore di Derivate per verificare qualsiasi passaggio di derivazione nei tassi correlati — in particolare quelli impliciti.

Riferimenti correlati:

• Calcolatore di Limiti — sotto, le derivate sono limiti
• Calcolatore di Integrali — compagno dell'antiderivata
• Solutore di Triangoli — per l'impostazione geometrica di molti problemi