Completare il quadrato è una di quelle mosse dell'algebra che gli studenti vedono una volta e dimenticano. Ma è l'unica tecnica dietro la formula quadratica, la forma canonica di una parabola e diversi integrali comuni del calcolo. Una volta interiorizzato il trucco, hai uno strumento che userai per sempre.

L'idea fondamentale

Il binomio al quadrato $(x + h)^2$ si sviluppa in $x^2 + 2hx + h^2$ . Per trasformare una qualsiasi espressione $x^2 + bx$ in un quadrato perfetto, devi aggiungere $\left(\frac{b}{2}\right)^2$ . Tutto qui il trucco.

Esempio svolto: caso monico

Completa il quadrato su $x^2 + 6x + 5$ .

Prendi la metà del coefficiente lineare: $b/2 = 3$ .
Elevalo al quadrato: $9$ .
Riscrivi: $x^2 + 6x + 9 - 9 + 5 = (x + 3)^2 - 4$ .

Abbiamo aggiunto 9 e sottratto 9 — somma netta zero, ma i primi tre termini ora formano un quadrato perfetto.

Esempio svolto: caso non monico

Completa il quadrato su $2x^2 + 12x + 7$ .

Raccogli 2 dai primi due termini: $2(x^2 + 6x) + 7$ .
Dentro la parentesi, completa il quadrato: $x^2 + 6x + 9 - 9 = (x+3)^2 - 9$ .
Sostituisci all'indietro: $2((x+3)^2 - 9) + 7 = 2(x+3)^2 - 18 + 7 = 2(x+3)^2 - 11$ .

Applicazione 1: risolvere equazioni di secondo grado

Per risolvere $x^2 + 6x + 5 = 0$ :
$(x + 3)^2 - 4 = 0 \Rightarrow (x+3)^2 = 4 \Rightarrow x + 3 = \pm 2 \Rightarrow x = -1, -5$ .

Stessa risposta della formula quadratica, ricavata da zero.

Applicazione 2: vertice di una parabola

$y = 2x^2 + 12x + 7 = 2(x + 3)^2 - 11$ è in forma canonica $y = a(x - h)^2 + k$ . Il vertice è in $(h, k) = (-3, -11)$ , con concavità rivolta verso l'alto (poiché $a > 0$ ). Puoi leggerlo senza il calcolo.

Applicazione 3: integrazione

Integrali come $\int \frac{dx}{x^2 + 4x + 13}$ resistono all'attacco diretto ma cedono al completamento del quadrato: $x^2 + 4x + 13 = (x + 2)^2 + 9$ , poi sostituisci $u = x + 2$ per riconoscere un'arcotangente.

Errori comuni

Dimenticare di sottrarre ciò che hai aggiunto — l'espressione deve restare uguale a se stessa.
Non raccogliere prima il coefficiente direttore nei casi non monici.
Dimezzare il coefficiente sbagliato — è il coefficiente lineare $b$ , non il coefficiente direttore $a$ .

Prova con il Solutore Quadratico AI

Il Solutore Quadratico mostra l'approccio del completamento del quadrato affiancato alla formula quadratica.

Riferimenti correlati:

Calcolatore di Fattorizzazione — il percorso alternativo verso le radici
Solutore di Equazioni — un kit più ampio per la risoluzione di equazioni
Calcolatore di Integrali — per l'applicazione al calcolo qui sopra

Completare il quadrato: una spiegazione passo a passo che finalmente fa scattare il clic

Completare il quadrato — la tecnica dietro la formula quadratica, la forma canonica e molti integrali del calcolo. Esempi passo a passo per i casi monico e non monico.