Kalkulator Turunan Parsial

Sebuah turunan parsial mengukur bagaimana fungsi multivariabel berubah terhadap satu variabel sambil menahan variabel lain tetap. Untuk $f(x, y)$:

$\frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h, y) - f(x, y)}{h}$

Notasi $\partial$ (d melengkung) membedakan turunan parsial dari turunan biasa $\frac{d}{dx}$. Notasi setara meliputi $f_x$, $\partial_x f$, $D_x f$.

Makna geometris: $\frac{\partial f}{\partial x}(a, b)$ adalah kemiringan permukaan $z = f(x,y)$ di $(a,b)$ dalam arah-$x$ — garis singgung terletak pada bidang $y = b$.

Mengapa ini penting: penurunan gradien (gradient descent), optimasi, perambatan galat, dan sebagian besar kalkulus vektor bertumpu pada turunan parsial. Gradien $\nabla f = (f_x, f_y, f_z)$ menunjuk ke arah kenaikan tercuram.

Aturan 1: Perlakukan Variabel Lain sebagai Konstanta

Untuk mencari $\frac{\partial f}{\partial x}$, perlakukan $y, z, \ldots$ sebagai konstanta dan turunkan $f$ sebagai fungsi satu variabel dari $x$.

Contoh: $f(x, y) = x^2 y + 3y$

• $\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy$ (suku $3y$ hilang karena tidak memuat $x$)
• $\frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 3$ ($x^2$ bertindak sebagai koefisien)

Aturan 2: Aturan Rantai dan Aturan Hasil Kali Tetap Berlaku

Untuk $f(x, y) = \sin(xy)$:

$\frac{\partial f}{\partial x} = \cos(xy) \cdot y$

Nilai $y$ di dalam tanda kurung diperlakukan sebagai koefisien konstan saat menurunkan $xy$ terhadap $x$.

Parsial Orde Tinggi

$f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \quad f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$

Teorema Clairaut (parsial campuran): jika $f$ memiliki parsial kedua yang kontinu, maka $f_{xy} = f_{yx}$. Urutan diferensiasi tidak berpengaruh.

Gradien dan Turunan Berarah

Gradien adalah vektor dari semua parsial pertama:

$\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right)$

Turunan berarah dalam arah $\mathbf{u}$ (vektor satuan) adalah:

$D_\mathbf{u} f = \nabla f \cdot \mathbf{u}$

Maksimum ketika $\mathbf{u}$ menunjuk searah $\nabla f$ — ini adalah arah kenaikan tercuram.

Aturan Rantai (Multivariabel)

Jika $z = f(x, y)$ dan $x = x(t), y = y(t)$:

$\frac{dz}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}$

• Menurunkan variabel yang salah: Selalu identifikasi variabel mana yang 'aktif' dan mana yang ditahan konstan. Menggarisbawahi variabel aktif dalam coretan Anda membantu.
• Lupa aturan rantai: $\frac{\partial}{\partial x}\sin(xy) = y\cos(xy)$, bukan hanya $\cos(xy)$.
• Notasi yang membingungkan: $f_{xy}$ berarti turunkan dahulu terhadap $x$, lalu $y$ (beberapa buku membalik ini — periksa konvensinya).
• Arah gradien yang salah: $\nabla f$ menunjuk ke arah kenaikan tercuram, bukan gerak. Untuk meminimumkan, bergeraklah berlawanan dengan $\nabla f$.
• Mencampur turunan parsial dan total: Ketika $x$ dan $y$ keduanya bergantung pada $t$, gunakan aturan rantai — bukan $\partial f/\partial t$, yang nol jika $f$ tidak memuat $t$ secara eksplisit.