Kalkulator Transformasi Laplace

Transformasi Laplace mengonversi fungsi waktu $f(t)$ menjadi fungsi frekuensi kompleks $F(s)$:

$F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^\infty e^{-st} f(t)\,dt$

Transformasi terdefinisi untuk $s$ pada suatu setengah-bidang kanan $\operatorname{Re}(s) > \sigma$ di mana integral konvergen.

Mengapa ini berguna: Laplace mengonversi diferensiasi menjadi perkalian dengan $s$, mengubah PDB linear berkoefisien konstan menjadi persamaan aljabar dalam $s$. Anda menyelesaikan aljabarnya, lalu mengambil invers transformasi Laplace untuk mendapatkan jawaban dalam domain waktu.

Transformasi Laplace juga menangani masukan diskontinu dan impulsif (fungsi tangga, delta Dirac) secara elegan, yang membuatnya sangat penting dalam teori kendali, pemrosesan sinyal, dan teknik elektro.

Pasangan Transformasi Dasar

Hafalkan tabel inti:

Sifat Utama

Linearitas:

$\mathcal{L}\{a f(t) + b g(t)\} = a F(s) + b G(s)$

Pergeseran Pertama (pergeseran-s):

$\mathcal{L}\{e^{at} f(t)\} = F(s - a)$

Inilah cara $e^{at}\sin(\omega t) \to \frac{\omega}{(s-a)^2 + \omega^2}$.

Diferensiasi dalam domain-$t$:

$\mathcal{L}\{f'(t)\} = sF(s) - f(0)$

$\mathcal{L}\{f''(t)\} = s^2 F(s) - s f(0) - f'(0)$

Inilah yang mengonversi PDB menjadi aljabar: turunan menjadi polinomial dalam $s$ dikalikan $F(s)$, dengan kondisi awal sudah tertanam.

Perkalian dengan $t$:

$\mathcal{L}\{t f(t)\} = -F'(s)$

Invers Transformasi Laplace

Diberikan $F(s)$, cari $f(t)$ sedemikian sehingga $\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s)$. Teknik standar:

1. Pecahan parsial: uraikan $F(s)$ menjadi bagian rasional sederhana yang cocok dengan tabel.
2. Melengkapkan kuadrat sempurna: untuk bentuk $\frac{1}{s^2 + bs + c}$, tulis ulang sebagai $\frac{1}{(s - a)^2 + \omega^2}$ agar cocok dengan entri tabel sinus tergeser.
3. Cari di tabel dan gabungkan menggunakan linearitas.

Menyelesaikan PDB dengan Laplace

Untuk $y'' + 3y' + 2y = e^{-t}$, $y(0) = 0, y'(0) = 1$:

1. Terapkan Laplace: $s^2 Y - s \cdot 0 - 1 + 3(sY - 0) + 2Y = \frac{1}{s+1}$
2. Selesaikan untuk $Y$: $Y(s^2 + 3s + 2) = 1 + \frac{1}{s+1}$, sehingga $Y = \frac{s + 2}{(s+1)(s^2+3s+2)} = \frac{1}{(s+1)^2}$ (setelah penyederhanaan).
3. Inverskan: $y(t) = t e^{-t}$.

Rapi dan mekanis — masalah yang sama dengan variasi parameter membutuhkan dua kali lipat usaha.

• Lupa kondisi awal: $\mathcal{L}\{f'\} = sF(s) - f(0)$. Melewatkan $f(0)$ adalah kesalahan paling umum.
• Tanda salah pada pergeseran-s: $\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\} = F(s - a)$, bukan $F(s + a)$. Tanda penting.
• Salah menangani diskontinuitas: Untuk masukan tangga, gunakan fungsi tangga satuan $u(t-a)$ dan teorema pergeseran waktu $\mathcal{L}\{u(t-a)f(t-a)\} = e^{-as}F(s)$.
• Transformasi invers tanpa pecahan parsial: $\frac{1}{(s-1)(s+2)}$ tidak terinvers langsung — uraikan terlebih dahulu.
• Mengacaukan $F(s)$ dengan $\mathcal{L}^{-1}\{F\}$: $F(s)$ adalah transformasi, $f(t)$ adalah asli. Selalu akhiri masalah PDB kembali di domain waktu.