AI Math
Buka Aplikasi

Kalkulator Integral Tak Wajar

Evaluasi integral tak wajar dengan batas tak hingga atau integran tak terbatas menggunakan solusi langkah demi langkah AI

Seret & lepas atau klik untuk menambahkan gambar atau PDF

∑Math Input
integral from 0 to infinity of e^(-x) dx
integral from 1 to infinity of 1/x^2 dx
integral from 0 to 1 of 1/sqrt(x) dx
integral from -infinity to infinity of 1/(1+x^2) dx

Apa itu Integral Tak Wajar?

Sebuah integral tak wajar adalah integral tentu di mana salah satu dari:

  1. Selangnya tak hingga: mis., ∫1∞f(x) dx\int_1^\infty f(x)\,dx atau ∫−∞∞f(x) dx\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx
  2. Integran memiliki asimtot vertikal di dalam atau di titik ujung selang: mis., ∫011x dx\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx

Dalam kedua kasus, integral Riemann baku tidak terdefinisi, tetapi kita kadang dapat memberikan nilai berhingga menggunakan limit.

Jika limit ada dan berhingga, integral tak wajar konvergen. Jika limit tak hingga atau tidak ada, integral divergen.

Integral tak wajar sangat penting dalam probabilitas (konstanta normalisasi), transformasi Laplace dan Fourier, serta uji kekonvergenan deret.

Cara Mengevaluasi Integral Tak Wajar

Tipe 1: Selang Tak Hingga

Ganti tak hingga dengan limit:

∫a∞f(x) dx=lim⁡t→∞∫atf(x) dx\int_a^\infty f(x)\,dx = \lim_{t \to \infty} \int_a^t f(x)\,dx

∫−∞bf(x) dx=lim⁡t→−∞∫tbf(x) dx\int_{-\infty}^b f(x)\,dx = \lim_{t \to -\infty} \int_t^b f(x)\,dx

Untuk kedua batas tak hingga, pecah pada titik mana pun yang nyaman cc:

∫−∞∞f(x) dx=∫−∞cf(x) dx+∫c∞f(x) dx\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx = \int_{-\infty}^c f(x)\,dx + \int_c^\infty f(x)\,dx

Kedua bagian harus konvergen secara independen — jika tidak, seluruh integral divergen.

Tipe 2: Integran Tak Terbatas

Jika ff tak terbatas di x=cx = c di dalam [a,b][a, b], pecah dan ambil limit:

∫abf(x) dx=lim⁡t→c−∫atf(x) dx+lim⁡s→c+∫sbf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{t \to c^-}\int_a^t f(x)\,dx + \lim_{s \to c^+}\int_s^b f(x)\,dx

Jika singularitas berada di x=ax = a:

∫abf(x) dx=lim⁡t→a+∫tbf(x) dx\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{t \to a^+} \int_t^b f(x)\,dx

Uji pp

∫1∞1xp dxkonvergen jika p>1, divergen jika p≤1\int_1^\infty \frac{1}{x^p}\,dx \quad \text{konvergen jika } p > 1, \text{ divergen jika } p \leq 1

∫011xp dxkonvergen jika p<1, divergen jika p≥1\int_0^1 \frac{1}{x^p}\,dx \quad \text{konvergen jika } p < 1, \text{ divergen jika } p \geq 1

Eksponen kritis adalah p=1p = 1. Perhatikan aturan kekonvergenan yang berlawanan untuk kedua kasus.

Uji Perbandingan

Jika 0≤f(x)≤g(x)0 \leq f(x) \leq g(x) pada selang:

  • ∫g\int g konvergen ⇒∫f\Rightarrow \int f konvergen
  • ∫f\int f divergen ⇒∫g\Rightarrow \int g divergen

Berguna ketika integral itu sendiri sulit tetapi batasnya mudah.

Kesalahan Umum yang Harus Dihindari

  • Memperlakukan ∞\infty sebagai bilangan: Anda tidak dapat 'menyubstitusikan' ∞\infty. Anda harus menggunakan limit.
  • Melewatkan singularitas internal: ∫−111x dx\int_{-1}^1 \frac{1}{x}\,dx memiliki singularitas di 00 di dalam selang. Mengevaluasi secara naif memberikan 00 (salah) — integral sebenarnya divergen.
  • Menjumlahkan integral tak wajar sebagian yang 'saling meniadakan': ∫−∞∞x dx\int_{-\infty}^\infty x\,dx — kedua paruh divergen, sehingga integral divergen. 'Nilai utama' adalah konsep yang berbeda (lebih lemah).
  • Arah uji pp yang salah: Di ∞\infty, 1/xp1/x^p konvergen untuk p>1p > 1. Di 00, konvergen untuk p<1p < 1. Ini berlawanan — hafalkan keduanya.
  • Lupa memverifikasi kekonvergenan sebelum mengintegralkan: Integral tak wajar yang divergen tidak memiliki nilai. Selalu periksa kekonvergenan terlebih dahulu.

Examples

Step 1: Ganti batas dengan limit: lim⁡t→∞∫0te−x dx\lim_{t \to \infty} \int_0^t e^{-x}\,dx
Step 2: Hitung antiturunan: ∫e−x dx=−e−x+C\int e^{-x}\,dx = -e^{-x} + C
Step 3: Terapkan batas: lim⁡t→∞[−e−x]0t=lim⁡t→∞(−e−t+1)\lim_{t \to \infty} \left[-e^{-x}\right]_0^t = \lim_{t \to \infty}(-e^{-t} + 1)
Step 4: Saat t→∞t \to \infty, e−t→0e^{-t} \to 0, sehingga limitnya sama dengan 11
Answer: 11 (konvergen)

Step 1: Terapkan uji pp dengan p=1p = 1: ∫1∞1/xp dx\int_1^\infty 1/x^p\,dx konvergen jika dan hanya jika p>1p > 1
Step 2: Di sini p=1p = 1, sehingga integral divergen
Step 3: Verifikasi dengan limit: lim⁡t→∞[ln⁡x]1t=lim⁡t→∞ln⁡t=∞\lim_{t \to \infty} [\ln x]_1^t = \lim_{t \to \infty} \ln t = \infty
Answer: Divergen

Step 1: Singularitas di x=0x = 0. Gunakan uji pp di 00: 1/xp1/x^p konvergen jika dan hanya jika p<1p < 1
Step 2: Di sini p=1/2<1p = 1/2 < 1, sehingga konvergen
Step 3: Hitung: lim⁡t→0+∫t1x−1/2 dx=lim⁡t→0+[2x]t1\lim_{t \to 0^+} \int_t^1 x^{-1/2}\,dx = \lim_{t \to 0^+} [2\sqrt{x}]_t^1
Step 4: =lim⁡t→0+(2−2t)=2= \lim_{t \to 0^+} (2 - 2\sqrt{t}) = 2
Answer: 22 (konvergen)

Frequently Asked Questions

Integral tak wajar konvergen jika limit yang mendefinisikannya berhingga. Jika tidak, ia divergen, artinya luas di bawah kurva entah tak hingga atau tidak terdefinisi.

Uji p berlaku untuk integral berbentuk ∫1/x^p pada [1, ∞) atau (0, 1]. Paling berguna sebagai perbandingan: jika integran Anda berperilaku secara asimtotik seperti 1/x^p, Anda dapat menentukan kekonvergenan dengan cepat.

Integral tak wajar konvergen mutlak jika ∫|f| konvergen. Ia konvergen bersyarat jika ∫f konvergen tetapi ∫|f| divergen. Kekonvergenan mutlak secara ketat lebih kuat.

Ya — luasnya bisa tak hingga. ∫_1^∞ 1/x dx adalah contoh kanonis: kurva y = 1/x positif di mana-mana pada [1, ∞), namun luas di bawahnya tak hingga (divergen).

Related Solvers

Kalkulator IntegralKalkulator LimitKalkulator Deret
Try AI-Math for Free

Get step-by-step solutions to any math problem. Upload a photo or type your question.

Start Solving