Kalkulator Integral Lipat Dua

Sebuah integral lipat dua menghitung akumulasi suatu fungsi $f(x, y)$ pada daerah dua dimensi $D$:

$\iint_D f(x,y)\,dA$

di mana $dA$ adalah elemen luas infinitesimal. Dalam koordinat Kartesius $dA = dx\,dy$; dalam koordinat polar $dA = r\,dr\,d\theta$.

Makna fisis umum:

• $f(x,y) = 1$ memberikan luas dari $D$.
• $f(x,y) = h(x,y)$ (fungsi ketinggian) memberikan volume di bawah permukaan $z = h(x,y)$ di atas $D$.
• $f = \rho(x,y)$ (rapat permukaan) memberikan massa dari pelat tipis.

Keterampilan utamanya adalah: memilih koordinat, menyusun batas, dan mengevaluasi sebagai integral tunggal berulang menggunakan teorema Fubini.

Teorema Fubini

Untuk $f$ kontinu pada persegi panjang $D = [a, b] \times [c, d]$:

$\iint_D f\,dA = \int_a^b \int_c^d f(x,y)\,dy\,dx = \int_c^d \int_a^b f(x,y)\,dx\,dy$

Kedua urutan berfungsi, jadi pilih yang lebih mudah diintegralkan.

Daerah Tipe I dan Tipe II

Tipe I ($y$ dibatasi oleh kurva dari $x$):

$D = \{(x,y) : a \leq x \leq b,\ g_1(x) \leq y \leq g_2(x)\}$

$\iint_D f\,dA = \int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y)\,dy\,dx$

Tipe II ($x$ dibatasi oleh kurva dari $y$):

$D = \{(x,y) : c \leq y \leq d,\ h_1(y) \leq x \leq h_2(y)\}$

$\iint_D f\,dA = \int_c^d \int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f(x,y)\,dx\,dy$

Koordinat Polar

Untuk daerah dengan simetri lingkaran, gunakan $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$, $dA = r\,dr\,d\theta$:

$\iint_D f(x,y)\,dA = \iint_D f(r\cos\theta, r\sin\theta)\,r\,dr\,d\theta$

Faktor $r$ dari Jacobian sangat penting — melupakannya adalah kesalahan paling umum.

Kapan Menukar Urutan Integrasi

Jika integral dalam menjadi tidak terselesaikan (mis., $\int e^{x^2}\,dx$ tidak memiliki antiturunan elementer), menukar urutan integrasi sering kali membuat masalah dapat diselesaikan. Gambar daerahnya terlebih dahulu untuk menemukan batas ekuivalen dalam urutan lainnya.

• Urutan batas yang salah: Batas dalam boleh bergantung pada variabel luar, tetapi batas luar harus berupa konstanta. Terbalik = jawaban salah.
• Lupa Jacobian polar: $dA = r\,dr\,d\theta$, bukan $dr\,d\theta$.
• Tidak menggambar daerah: Untuk $D$ non-persegi panjang, gambar membuat Tipe I vs Tipe II menjadi jelas.
• Mencoba mengintegralkan fungsi dalam yang mustahil: Jika Anda menemui $\int e^{x^2}\,dx$ atau integran non-elementer serupa, tukar urutan sebelum menyerah.
• Kesalahan tanda dengan integran negatif: Jika $f$ berganti tanda pada $D$, integral lipat dua bisa nol — ini benar, bukan kesalahan yang perlu 'diperbaiki'.