Kalkulator Pembagian Sintetik

Pembagian sintetik adalah cara pintas untuk membagi polinomial $p(x)$ dengan faktor linear $x - k$. Cara ini lebih cepat daripada pembagian bersusun dan menghasilkan hasil bagi serta sisa yang sama, hanya dengan lebih sedikit tulisan.

Diberikan $p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0$ dibagi dengan $x - k$, pembagian sintetik menghasilkan:

$p(x) = (x - k) q(x) + r$

di mana $q(x)$ adalah hasil bagi (berderajat $n - 1$) dan $r$ adalah sisa konstan.

Kegunaan utama:

1. Pembagian polinomial cepat ketika pembaginya berupa linear $x - k$.
2. Mengevaluasi $p(k)$ — menurut Teorema Sisa, $p(k) = r$, sehingga sisanya tepat sama dengan nilai fungsi.
3. Memfaktorkan polinomial — jika $r = 0$, maka $(x - k)$ adalah faktor dan $q(x)$ memberitahu Anda kofaktornya.
4. Mencari akar rasional dikombinasikan dengan Teorema Akar Rasional.

Persiapan

Untuk membagi $p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0$ dengan $x - k$:

1. Tulis nol pembagi $k$ di sebelah kiri.
2. Daftarkan koefisien $p(x)$ di sebelah kanan, termasuk nol untuk suku yang hilang.

Algoritma

1. Turunkan koefisien pertama ($a_n$) tanpa perubahan.
2. Kalikan dengan $k$ dan tulis hasilnya di bawah koefisien berikutnya ($a_{n-1}$).
3. Jumlahkan kolom tersebut. Tulis jumlahnya di baris bawah.
4. Ulangi: kalikan jumlah tersebut dengan $k$, tulis di bawah koefisien berikutnya, jumlahkan.
5. Lanjutkan sampai semua koefisien selesai.

Membaca Hasilnya

Baris bawah berisi:

• Sebanyak $n$ entri pertama: koefisien hasil bagi $q(x)$ (dalam urutan derajat menurun).
• Entri terakhir: sisa $r$.

Contoh: $(x^3 - 4x + 5) \div (x - 2)$

Koefisien dari $x^3 + 0x^2 - 4x + 5$: $[1, 0, -4, 5]$. Nol pembagi: $k = 2$.

 2 |  1   0  -4   5
   |      2   4   0
   |________________
      1   2   0   5

Hasil bagi: $x^2 + 2x + 0 = x^2 + 2x$. Sisa: $5$.

Jadi $x^3 - 4x + 5 = (x - 2)(x^2 + 2x) + 5$.

Hubungan dengan Teorema Sisa

Sisa $r$ dalam $p(x) = (x - k)q(x) + r$ sama dengan $p(k)$. Dengan menetapkan $x = k$:

$p(k) = (k - k) q(k) + r = r$

Jadi pembagian sintetik adalah cara cepat untuk mengevaluasi $p(k)$ tanpa substitusi.

Teorema Faktor

Suatu akibat wajar: $(x - k)$ adalah faktor dari $p(x)$ jika dan hanya jika $p(k) = 0$ jika dan hanya jika sisa pembagian sintetik adalah $0$.

• Tidak menyertakan placeholder nol: Untuk $p(x) = x^3 - 4x + 5$, Anda harus menyertakan $0$ untuk suku $x^2$ yang hilang. Jika tidak, kolom-kolomnya tidak sejajar.
• Kesalahan tanda pada $k$: Untuk membagi dengan $x - 2$, gunakan $k = 2$ (nol dari pembagi). Untuk membagi dengan $x + 3$, gunakan $k = -3$.
• Tidak dapat digunakan langsung untuk pembagi $ax - k$: Pembagian sintetik seperti yang diajarkan berlaku untuk $x - k$ (koefisien utama 1). Untuk $ax - k$, faktorkan $a$ terlebih dahulu atau gunakan pembagian polinomial bersusun.
• Lupa menurunkan koefisien pertama: Langkah pertama selalu 'turunkan $a_n$' — belum mengalikan apa pun.
• Salah membaca hasil bagi: Sebanyak $n$ entri pertama pada baris bawah adalah koefisien, dan derajatnya turun 1. Polinomial berderajat 4 dibagi $x - k$ menghasilkan hasil bagi berderajat 3.