Kalkulator Melengkapkan Kuadrat

Melengkapkan kuadrat adalah teknik aljabar untuk menulis ulang bentuk kuadrat $ax^2 + bx + c$ menjadi:

$a(x - h)^2 + k$

di mana $(h, k)$ adalah titik puncak dari parabola.

Mengapa ini penting:

• Mengungkap titik puncak (titik minimum/maksimum) parabola secara sekilas.
• Memungkinkan Anda menyelesaikan persamaan kuadrat apa pun tanpa rumus kuadrat.
• Merupakan teknik dasar yang menurunkan rumus kuadrat.
• Digunakan untuk menghitung $\int \frac{1}{x^2 + bx + c}\,dx$ dalam kalkulus (tereduksi menjadi arctan).
• Penting untuk memahami integral Gauss dan banyak topik dalam fisika.

Identitas inti yang membuatnya bekerja:

$x^2 + bx + \left(\frac{b}{2}\right)^2 = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2$

Kasus 1: Koefisien Utama adalah 1

Untuk $x^2 + bx + c$:

1. Ambil setengah dari $b$ dan kuadratkan: $(b/2)^2$.
2. Tambah dan kurangi besaran ini: $x^2 + bx + (b/2)^2 - (b/2)^2 + c$.
3. Kelompokkan kuadrat sempurna: $(x + b/2)^2 + c - (b/2)^2$.

Contoh: $x^2 + 6x + 5$

• Setengah dari 6 adalah 3. Dikuadratkan: 9.
• $x^2 + 6x + 9 - 9 + 5 = (x + 3)^2 - 4$

Bentuk titik puncak: $(x + 3)^2 - 4$, titik puncak di $(-3, -4)$.

Kasus 2: Koefisien Utama Bukan 1

Untuk $ax^2 + bx + c$, $a \neq 1$:

1. Faktorkan $a$ dari dua suku pertama: $a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c$.
2. Lengkapkan kuadrat di dalam tanda kurung: setengah dari $b/a$ adalah $b/(2a)$, dikuadratkan adalah $b^2/(4a^2)$.
3. Tambah dan kurangi di dalam: $a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2}\right) - a \cdot \frac{b^2}{4a^2} + c$.
4. Sederhanakan: $a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a}$.

Perhatikan bahwa ketika Anda 'membatalkan' suku yang ditambahkan, Anda mengalikan dengan $a$ karena bagian dalamnya dikalikan dengan $a$.

Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

Untuk $ax^2 + bx + c = 0$:

1. Lengkapkan kuadrat untuk mendapatkan $a(x - h)^2 + k = 0$.
2. Isolasi suku kuadrat: $(x - h)^2 = -k/a$.
3. Ambil akar kuadrat: $x - h = \pm\sqrt{-k/a}$.
4. Selesaikan: $x = h \pm \sqrt{-k/a}$.

Ini pada dasarnya adalah apa yang dilakukan rumus kuadrat dalam satu ekspresi ringkas.

• Lupa menyeimbangkan: Ketika Anda menambahkan $(b/2)^2$, Anda juga harus menguranginya. Jika tidak, Anda telah mengubah ekspresinya.
• Penanganan koefisien yang salah: Jika $a \neq 1$, Anda harus memfaktorkan $a$ dari dua suku pertama sebelum melengkapkan kuadrat, lalu mengalikan koreksi Anda dengan $a$ saat mendistribusikan kembali.
• Kesalahan tanda dengan $\pm$: Setelah mengambil akar kuadrat, kedua cabang harus dipertahankan. Menghilangkan $\pm$ akan menghilangkan satu solusi.
• Setengah dari $b$ vs $b/2a$: Ketika koefisien utama adalah 1, ambil setengah dari $b$. Ketika bukan, faktorkan dulu — lalu ambil setengah dari koefisien baru.
• Lupa menyederhanakan konstanta: Setelah melengkapkan kuadrat, gabungkan konstanta sisa menjadi satu $k$.