Kalkulator Nilai Mutlak

Nilai mutlak dari suatu bilangan real $x$, ditulis $|x|$, adalah jaraknya dari $0$ pada garis bilangan:

$|x| = \begin{cases} x & \text{if } x \geq 0 \\ -x & \text{if } x < 0 \end{cases}$

Sifat-sifat utama:

• $|x| \geq 0$ untuk semua $x$, dengan kesamaan hanya jika $x = 0$.
• $|xy| = |x||y|$ (multiplikatif).
• $|x + y| \leq |x| + |y|$ (pertidaksamaan segitiga).
• $|x|^2 = x^2$, sehingga $|x| = \sqrt{x^2}$.

Interpretasi geometris: $|a - b|$ adalah jarak antara bilangan $a$ dan $b$ pada garis bilangan. Inilah sebabnya pertidaksamaan nilai mutlak dapat diterjemahkan dengan rapi menjadi pernyataan jarak.

Nilai mutlak diperluas ke bilangan kompleks ($|a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$) dan ke vektor (norma Euclidean), tetapi di sini kita fokus pada kasus bernilai real yang digunakan di sebagian besar tugas.

Tipe 1: Persamaan Nilai Mutlak

$|f(x)| = c$ di mana $c$ adalah konstanta.

• Jika $c < 0$: tidak ada solusi (nilai mutlak tidak pernah bisa negatif).
• Jika $c = 0$: selesaikan $f(x) = 0$.
• Jika $c > 0$: pecah menjadi dua kasus: $f(x) = c$ atau $f(x) = -c$. Selesaikan masing-masing, simpan semua solusi yang valid.

Contoh: $|2x - 3| = 7$ terpecah menjadi $2x - 3 = 7$ atau $2x - 3 = -7$, menghasilkan $x = 5$ atau $x = -2$.

Tipe 2: Pertidaksamaan Kurang Dari

$|f(x)| < c$ (atau $\leq$) di mana $c > 0$.

Setara dengan: $-c < f(x) < c$ (pertidaksamaan majemuk, AND).

Makna geometris: $f(x)$ berada dalam jarak $c$ dari $0$.

Contoh: $|2x + 1| < 7$ menjadi $-7 < 2x + 1 < 7$, menghasilkan $-4 < x < 3$.

Jika $c \leq 0$, tidak ada solusi (atau hanya $f(x) = 0$ jika $c = 0$).

Tipe 3: Pertidaksamaan Lebih Dari

$|f(x)| > c$ (atau $\geq$) di mana $c \geq 0$.

Setara dengan: $f(x) < -c$ atau $f(x) > c$ (disjungsi, OR).

Contoh: $|3x - 6| \geq 9$ menjadi $3x - 6 \leq -9$ atau $3x - 6 \geq 9$, menghasilkan $x \leq -1$ atau $x \geq 5$.

Jika $c < 0$, setiap bilangan real memenuhi pertidaksamaan.

Rumit: Nilai Mutlak di Kedua Sisi

$|f(x)| = |g(x)|$ terpecah menjadi $f(x) = g(x)$ atau $f(x) = -g(x)$.

Memverifikasi Solusi

Selalu substitusikan kembali ke persamaan asli. Mengkuadratkan atau memecah dapat memunculkan solusi asing dalam beberapa konteks.

• Mengabaikan kasus negatif: $|x| = 5$ memiliki dua solusi, $x = 5$ dan $x = -5$. Pemula sering hanya menuliskan yang positif.
• Menukar AND vs OR: $|x| < c$ menggunakan AND (antara $-c$ dan $c$); $|x| > c$ menggunakan OR (kurang dari $-c$ atau lebih dari $c$). Menukarnya menghasilkan jawaban salah.
• Lupa bahwa $c$ harus non-negatif: $|f(x)| = -3$ tidak memiliki solusi karena $|f(x)| \geq 0$ selalu.
• Kebingungan tanda dalam kasus negatif: $|2x - 3| = 7$ menghasilkan $2x - 3 = -7$, bukan $-(2x) - 3 = 7$. Negasikan seluruh ekspresi yang sama dengan $-c$.
• Solusi asing terlewat: Setelah menyelesaikan, selalu substitusikan kembali ke persamaan asli. Jika struktur nilai mutlak bergantung pada $f(x)$ non-negatif, periksa hal itu.