Turunan vs diferensial

Turunan dan diferensial adalah objek matematika yang berkaitan erat tetapi berbeda, dan mengacaukannya adalah sumber banyak kesalahan kalkulus yang halus.

Turunan

Turunan $f'(x)$ (atau $\frac{dy}{dx}$) adalah fungsi yang memberi laju perubahan $f$ di setiap $x$. Untuk $f(x) = x^2$, $f'(x) = 2x$.

Secara numerik: di $x = 3$, $f'(3) = 6$ — kemiringan garis singgung di titik itu.

Diferensial

Diferensial $dy$ adalah perubahan infinitesimal pada $y$ yang berpadanan dengan perubahan infinitesimal $dx$ pada $x$:

$dy = f'(x) \, dx$

Untuk $y = x^2$: $dy = 2x \, dx$.

Diferensial memungkinkan Anda menulis turunan sebagai rasio infinitesimal — berguna dalam substitusi (substitusi $u$ pada integral: $du = u'(x) dx$) dan dalam pemisahan variabel untuk persamaan diferensial.

Kapan perbedaannya penting

Pada integral: $\int 2x \, dx$ memakai diferensial $dx$, bukan turunan.

Pada diferensiasi implisit: dari $x^2 + y^2 = 25$, ambil diferensial: $2x \, dx + 2y \, dy = 0$, lalu selesaikan untuk $\frac{dy}{dx}$.

Dalam fisika: $dW = F \, dx$ (kerja sebagai diferensial), bukan "kerja sama dengan turunan gaya".

Hampiran linear

$dy$ juga berfungsi sebagai hampiran linear terhadap $\Delta y$ (perubahan sebenarnya) untuk $dx$ kecil:

$\Delta y \approx dy = f'(x) \, dx$

Ini adalah dasar propagasi galat, metode Newton, dan fondasi hampiran linear seluruh kalkulus.

Putusan

Gunakan turunan $f'(x)$ saat Anda ingin laju / fungsi. Gunakan diferensial $dy = f'(x) dx$ saat Anda ingin perubahan infinitesimal, terutama dalam integral, substitusi, atau PD.