Kit Bertahan Identitas Trigonometri

Ada puluhan identitas trigonometri, tetapi dalam praktiknya Anda hanya perlu menghafal sekitar selusin — sisanya dapat diturunkan dalam hitungan detik dari identitas-identitas tersebut. Halaman ini adalah kit bertahan hidup: setiap identitas yang layak mendapat tempat, dilengkapi contoh singkat yang dikerjakan untuk masing-masing.

Trio Pythagoras

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$
$1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$
$1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta$

Yang pertama adalah identitas yang paling sering digunakan dalam seluruh matematika. Dua lainnya diperoleh dengan membagi semua suku dengan $\cos^2$ atau $\sin^2$.

Rumus jumlah dan selisih

$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha \cos\beta \pm \cos\alpha \sin\beta$
$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha \cos\beta \mp \sin\alpha \sin\beta$

Cara mengingat untuk cos: "cos cos minus sin sin" dengan tanda berlawanan — sin adalah "sin cos plus cos sin" dengan tanda sama.

Rumus sudut ganda

Substitusikan $\alpha = \beta = \theta$ ke dalam rumus jumlah:

$\sin(2\theta) = 2\sin\theta \cos\theta$
$\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 1 - 2\sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1$
$\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$

Tiga bentuk versi cosinus ada berkat identitas Pythagoras. Pilih mana pun yang cocok dengan sisa ekspresi Anda.

Rumus sudut setengah

Menyelesaikan sudut ganda cosinus untuk $\sin^2$ dan $\cos^2$ memberikan:

$\sin^2\theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}, \quad \cos^2\theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$

Ini adalah identitas penurunan pangkat — inilah cara $\int \sin^2 x \, dx$ menjadi dapat diselesaikan secara elementer.

Contoh yang dikerjakan: penyederhanaan

Sederhanakan $\frac{\sin(2x)}{1 + \cos(2x)}$.

1. Pembilang: $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$.
2. Penyebut: $1 + \cos(2x) = 1 + (2\cos^2 x - 1) = 2\cos^2 x$.
3. Hasil bagi: $\frac{2\sin x \cos x}{2\cos^2 x} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$.

Seluruh ekspresi yang rumit itu runtuh menjadi $\tan x$.

Kesalahan umum

• Kesalahan tanda dalam rumus jumlah — tuliskan rumusnya, jangan mengandalkan ingatan di tengah pengerjaan soal.
• $\sin^2\theta$ berarti $(\sin\theta)^2$, bukan $\sin(\sin\theta)$.
• Lupa bahwa $2\theta$ adalah sudutnya, bukan 2 kali nilainya — $\sin(2 \cdot 30°) = \sin 60°$, bukan $2\sin 30°$.

Coba dengan AI Trigonometry Solver

Trigonometry Solver menerima ekspresi apa pun dan menerapkan semua identitas ini untuk menyederhanakan atau menyelesaikannya.

Referensi terkait:

• Simplify Calculator — ide penyederhanaan yang sama, versi polinomial
• Integral Calculator — penurunan pangkat sangat penting untuk integral trigonometri
• Series Calculator — ekspansi Taylor sin dan cos menggunakan ini secara langsung