Menyelesaikan sistem persamaan berarti menemukan nilai-nilai yang memenuhi semua persamaan secara bersamaan. Ketiga teknik standar masing-masing memiliki keunggulannya sendiri — mengetahui mana yang harus dipilih menghemat waktu di setiap kumpulan pekerjaan rumah.

Metode 1: Substitusi

Terbaik ketika satu variabel sudah terisolasi (atau mudah diisolasi).

Prosedur:

Selesaikan satu persamaan untuk satu variabel.
Substitusikan ekspresi itu ke persamaan lainnya.
Selesaikan persamaan satu-variabel yang dihasilkan.
Substitusikan kembali untuk menemukan variabel kedua.

Contoh: $\begin{cases} y = 2x + 1 \\ 3x + y = 11 \end{cases}$

$y$ sudah terisolasi. Substitusikan ke persamaan kedua: $3x + (2x + 1) = 11$ , sehingga $5x = 10$ , $x = 2$ .
Substitusi kembali: $y = 2(2) + 1 = 5$ .
Solusi: $(2, 5)$ .

Metode 2: Eliminasi (Kombinasi Linear)

Terbaik ketika koefisien sejajar untuk meniadakan suatu variabel dengan menjumlahkan / mengurangkan.

Prosedur:

Kalikan satu atau kedua persamaan dengan konstanta sehingga koefisien suatu variabel saling berlawanan (mis. $+3y$ dan $-3y$ ).
Jumlahkan persamaan untuk mengeliminasi variabel tersebut.
Selesaikan persamaan satu-variabel yang tersisa.
Substitusikan kembali.

Contoh: $\begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ 4x - 3y = 6 \end{cases}$

$3y$ dan $-3y$ sudah berlawanan. Jumlahkan: $6x = 18$ , $x = 3$ .
Substitusi kembali: $2(3) + 3y = 12$ , $3y = 6$ , $y = 2$ .
Solusi: $(3, 2)$ .

Metode 3: Metode matriks

Untuk sistem yang lebih besar (3+ variabel) atau penyelesaian berbantuan komputer:

Aturan Cramer: $x_i = \det(A_i) / \det(A)$ di mana $A_i$ adalah $A$ dengan kolom ke- $i$ diganti oleh konstanta. Berlaku untuk ukuran apa pun, tetapi perhitungan $\det$ tumbuh cepat.
Eliminasi Gauss: reduksi baris matriks diperbesar $[A | \vec{b}]$ menjadi bentuk eselon baris, lalu substitusi kembali. Metode standar untuk sistem besar.
Matriks invers: $\vec{x} = A^{-1} \vec{b}$ . Hanya berlaku jika $A$ persegi dan dapat dibalik (determinan tidak nol).

Untuk sistem 2×2 secara manual, substitusi atau eliminasi hampir selalu menang. Metode matriks unggul untuk 3+ variabel.

Tiga kemungkinan untuk himpunan solusi

Setiap sistem linear memiliki tepat salah satu dari:

Satu solusi tunggal: garis (atau bidang) berpotongan di satu titik.
Tidak ada solusi: persamaan saling bertentangan (garis sejajar yang tidak bertemu) — sistem tidak konsisten.
Solusi tak hingga: persamaan menggambarkan garis / bidang yang sama — sistem bergantung.

Sinyal aljabar:

" $x = 5$ " → tunggal.
" $0 = 7$ " → kontradiksi → tidak ada solusi.
" $0 = 0$ " → tautologi → solusi tak hingga.

Kesalahan umum

Kesalahan tanda saat mendistribusikan selama substitusi. Beri tanda kurung dengan hati-hati.
Lupa mengalikan kedua sisi selama penskalaan eliminasi.
Berhenti setelah menemukan $x$ . Kedua variabel itu penting; substitusikan kembali.
Mengabaikan ketidakkonsistenan. Jika Anda memperoleh $0 = 7$ , itulah jawabannya ("tidak ada solusi"), bukan kesalahan perhitungan.

Coba sendiri

Masukkan sistem apa pun ke dalam Penyelesai Sistem Persamaan gratis kami — AI memilih substitusi / eliminasi secara otomatis dan menampilkan setiap langkahnya.

Terkait:

Tiga Cara Menyelesaikan Sistem Persamaan

Kuasai sistem persamaan dengan metode substitusi, eliminasi, dan matriks. Contoh terselesaikan untuk sistem 2×2 dan 3×3, ditambah kapan setiap metode paling unggul.