Melengkapkan Kuadrat: Panduan yang Akhirnya Membuat Paham

Melengkapkan kuadrat adalah salah satu langkah aljabar yang dilihat siswa sekali lalu dilupakan. Tetapi ia adalah satu-satunya teknik di balik rumus kuadrat, bentuk titik puncak sebuah parabola, dan beberapa integral kalkulus yang umum. Setelah Anda menginternalisasi triknya, Anda memiliki alat yang akan Anda gunakan selamanya.

Gagasan inti

Binomial kuadrat $(x + h)^2$ dijabarkan menjadi $x^2 + 2hx + h^2$. Untuk mengubah ekspresi apa pun $x^2 + bx$ menjadi kuadrat sempurna, Anda perlu menambahkan $\left(\frac{b}{2}\right)^2$. Itulah seluruh triknya.

Contoh terselesaikan: kasus monik

Lengkapkan kuadrat pada $x^2 + 6x + 5$.

1. Ambil setengah dari koefisien linear: $b/2 = 3$.
2. Kuadratkan: $9$.
3. Tulis ulang: $x^2 + 6x + 9 - 9 + 5 = (x + 3)^2 - 4$.

Kita menambahkan 9 dan mengurangi 9 — bersihnya nol, tetapi tiga suku pertama sekarang membentuk kuadrat sempurna.

Contoh terselesaikan: kasus non-monik

Lengkapkan kuadrat pada $2x^2 + 12x + 7$.

1. Faktorkan 2 dari dua suku pertama: $2(x^2 + 6x) + 7$.
2. Di dalam tanda kurung, lengkapkan kuadrat: $x^2 + 6x + 9 - 9 = (x+3)^2 - 9$.
3. Substitusikan kembali: $2((x+3)^2 - 9) + 7 = 2(x+3)^2 - 18 + 7 = 2(x+3)^2 - 11$.

Penerapan 1: menyelesaikan persamaan kuadrat

Untuk menyelesaikan $x^2 + 6x + 5 = 0$:
$(x + 3)^2 - 4 = 0 \Rightarrow (x+3)^2 = 4 \Rightarrow x + 3 = \pm 2 \Rightarrow x = -1, -5$.

Jawaban yang sama dengan rumus kuadrat, diturunkan dari awal.

Penerapan 2: titik puncak parabola

$y = 2x^2 + 12x + 7 = 2(x + 3)^2 - 11$ berada dalam bentuk titik puncak $y = a(x - h)^2 + k$. Titik puncaknya di $(h, k) = (-3, -11)$, terbuka ke atas (karena $a > 0$). Anda bisa membaca ini tanpa kalkulus.

Penerapan 3: pengintegralan

Integral seperti $\int \frac{dx}{x^2 + 4x + 13}$ menolak serangan langsung tetapi menyerah pada melengkapkan kuadrat: $x^2 + 4x + 13 = (x + 2)^2 + 9$, lalu substitusikan $u = x + 2$ untuk mengenali sebuah arctangen.

Kesalahan umum

• Lupa mengurangi apa yang Anda tambahkan — ekspresi harus tetap sama dengan dirinya sendiri.
• Tidak memfaktorkan koefisien utama terlebih dahulu pada kasus non-monik.
• Membagi dua koefisien yang salah — yang dibagi dua adalah koefisien linear $b$, bukan koefisien utama $a$.

Coba dengan AI Quadratic Solver

Solver Kuadrat menampilkan pendekatan melengkapkan kuadrat berdampingan dengan rumus kuadrat.

Referensi terkait:

• Kalkulator Faktor — jalur alternatif menuju akar
• Solver Persamaan — perangkat penyelesaian persamaan yang lebih luas
• Kalkulator Integral — untuk penerapan kalkulus di atas