ढाल-अंतःखंड रूप कैलकुलेटर

दो चरों में एक रैखिक समीकरण का ढाल-अंतःखंड रूप है:

$y = mx + b$

जहाँ:

• $m$ ढाल है — रेखा कितनी तीव्रता से चढ़ती या उतरती है। ढाल $= \dfrac{\text{rise}}{\text{run}}$।
• $b$ y-अंतःखंड है — वह $y$-मान जहाँ रेखा y-अक्ष को काटती है (बिंदु $(0, b)$)।

यह रूप विशेष क्यों है: यह बिना किसी गणना के एक नज़र में दो ज्यामितीय जानकारियाँ पढ़ देता है — ढाल और y-अंतःखंड। इसके विपरीत, मानक रूप $Ax + By = C$ दोनों को छिपा देता है।

ढाल-अंतःखंड रेखाएँ ग्राफ़ बनाने, समांतर/लंब संबंधों की तुलना करने, और किसी विवरण से समीकरण लिखने के लिए पसंदीदा कार्यशील रूप है।

स्थिति 1: मानक रूप के समीकरण से

$Ax + By = C$ दिया हो, तो $y$ के लिए हल करें:

$By = -Ax + C \quad \Rightarrow \quad y = -\frac{A}{B}x + \frac{C}{B}$

अतः $m = -A/B$ और $b = C/B$।

स्थिति 2: दो बिंदुओं से

$(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ दिए हों:

$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

फिर $b$ के लिए हल करने हेतु किसी एक बिंदु का प्रयोग करें:

$b = y_1 - m x_1$

स्थिति 3: ढाल और एक बिंदु से

ढाल $m$ और एक बिंदु $(x_0, y_0)$ दिया हो:

$b = y_0 - m x_0$

स्थिति 4: एक ग्राफ़ से

y-अंतःखंड को सीधे वहाँ से पढ़ें जहाँ रेखा y-अक्ष को काटती है। एक अन्य जालक बिंदु चुनें और $m$ ज्ञात करने हेतु $\text{rise} / \text{run}$ गिनें।

विशेष स्थितियाँ

• क्षैतिज रेखा $y = c$: ढाल $m = 0$, y-अंतःखंड $b = c$।
• ऊर्ध्वाधर रेखा $x = c$: ढाल अपरिभाषित है। इसे $y = mx + b$ के रूप में नहीं लिखा जा सकता।

समांतर और लंब रेखाएँ

दो रेखाएँ $y = m_1 x + b_1$ और $y = m_2 x + b_2$:

• समांतर हैं तभी जब $m_1 = m_2$ (समान ढाल, भिन्न अंतःखंड)
• लंब हैं तभी जब $m_1 m_2 = -1$ (ऋणात्मक व्युत्क्रम ढालें)

• ढाल चिह्न त्रुटियाँ: $m = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)$। $y$ को $x$ के समान क्रम में घटाएँ। एक को उलटना परंतु दूसरे को नहीं, चिह्न पलट देता है।
• शून्य से भाग देना: यदि $x_1 = x_2$, तो रेखा ऊर्ध्वाधर है — ढाल अपरिभाषित, कोई ढाल-अंतःखंड रूप मौजूद नहीं।
• y-अंतःखंड को x-अंतःखंड से भ्रमित करना: $b$ y-अंतःखंड है। x-अंतःखंड $y = 0$ रखकर और $x$ के लिए हल करके ज्ञात किया जाता है।
• $B$ से भाग देना भूलना: $Ax + By = C$ को ढाल-अंतःखंड में बदलते समय, आपको प्रत्येक पद को $B$ से भाग देना होगा, केवल $y$ पद को नहीं।
• गलत लंब ढाल: लंब का अर्थ है $m_1 m_2 = -1$, अतः $m_2 = -1/m_1$। केवल चिह्न पलटना या केवल व्युत्क्रम लेना पर्याप्त नहीं है।