परिमेय बनाम अपरिमेय संख्याएँ

परिमेय और अपरिमेय वास्तविक संख्याओं के दो हिस्से हैं — हर वास्तविक संख्या ठीक इनमें से एक होती है।

परिमेय संख्याएँ

कोई वास्तविक संख्या परिमेय है यदि उसे $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सके जहाँ $p, q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$।

दशमलव लक्षण: परिमेय संख्याओं का दशमलव या तो सांत होता है ($0.25 = \frac{1}{4}$) या अंततः आवर्ती होता है ($0.\overline{3} = \frac{1}{3}$, $0.1\overline{6} = \frac{1}{6}$)।

परिमेय संख्याओं का समुच्चय $\mathbb{Q}$ से दर्शाया जाता है। सघन होने के बावजूद (किन्हीं दो परिमेय के बीच एक और परिमेय होता है), परिमेय संख्याएँ गणनीय हैं — $\mathbb{N}$ के समान कार्डिनैलिटी।

अपरिमेय संख्याएँ

इन्हें पूर्णांकों के अनुपात के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता। दशमलव अनंत और अनावर्ती होते हैं।

प्रसिद्ध अपरिमेय:

• $\pi \approx 3.14159...$
• $e \approx 2.71828...$
• $\sqrt{2} \approx 1.41421...$
• $\phi$ (स्वर्ण अनुपात) $= (1 + \sqrt{5})/2$।

अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय अगणनीय है — परिमेय से नितांत बड़ा, यद्यपि परिमेय सघन हैं।

यह क्यों मायने रखता है

• $\sqrt{2}$ का अपरिमेय होना एक प्रसिद्ध पाइथागोरियन खोज थी (किंवदंती: हिप्पैसस को इसे प्रकट करने के लिए डुबो दिया गया था)।
• $\pi$ का अपरिमेय होना यह दर्शाता है कि आप इसे कभी भिन्न के रूप में नहीं लिख सकते।
• $1/7 = 0.\overline{142857}$ का दशमलव — आवर्तन का आवर्तकाल अधिकतम $q - 1$ होता है।

जाँच कैसे करें

यदि आपके पास कोई संख्या है, तो पूछें:

• दशमलव सांत है → परिमेय।
• दशमलव स्पष्ट आवर्तकाल के साथ दोहराता है → परिमेय।
• दशमलव बिना दोहराव के चलता रहता है (जैसे $\pi$, $e$, $\sqrt{2}$) → अपरिमेय।

बीजगणितीय जाँच संवृति का उपयोग करती है: परिमेय संख्याएँ $+, -, \times, /$ (0 को छोड़कर) के अंतर्गत संवृत हैं। दो अपरिमेय का योग परिमेय हो सकता है (जैसे $\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$)।