Série de Taylor

La série de Taylor d'une fonction $f$ au voisinage d'un point $a$ est

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots$

Lorsque $a = 0$, la série est appelée série de Maclaurin.

Développements célèbres :

• $e^x = \sum \frac{x^n}{n!}$
• $\sin x = \sum \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
• $\cos x = \sum \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$
• $\frac{1}{1-x} = \sum x^n$ (pour $|x| < 1$).

Tronquer la série au degré $n$ donne une approximation polynomiale. C'est ainsi que les calculatrices calculent en interne les fonctions trigonométriques et exponentielles, et que la physique approche les comportements à « petit angle » ou à « faible vitesse ». La série de Taylor existe partout où la fonction est indéfiniment dérivable et où le terme de reste tend vers zéro.