Série (somme infinie)

Une série est la somme des termes d’une suite. La série finie $\sum_{i=1}^n a_i = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$ est une simple addition ordinaire. La série infinie $\sum_{i=1}^\infty a_i$ est la limite des sommes partielles $S_n = \sum_{i=1}^n a_i$ lorsque $n \to \infty$.

Si $\lim_{n\to\infty} S_n$ existe et est fini, la série converge ; sinon elle diverge. Exemples célèbres :

• La série géométrique $\sum r^n$ converge vers $\frac{1}{1-r}$ lorsque $|r| < 1$.
• La série harmonique $\sum \frac{1}{n}$ diverge (lentement).
• Problème de Bâle : $\sum \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$.

La convergence se décide à l’aide de critères : critère du rapport (d’Alembert), critère de la racine (Cauchy), critère intégral, critère de comparaison, critère des séries alternées. Les séries de Taylor approchent les fonctions par des polynômes de degré arbitrairement élevé — le fondement de l’analyse numérique et des approximations en physique.