Dérivée

La dérivée d’une fonction $f(x)$ en un point $x_0$ est définie comme la limite

$f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}$

à condition que cette limite existe. Géométriquement, c’est la pente de la tangente en $(x_0, f(x_0))$ ; physiquement, c’est le taux de variation instantané de la grandeur représentée par $f$.

Les dérivées sont linéaires (la dérivée d’une somme est la somme des dérivées), et un petit ensemble de règles — puissance, produit, quotient, chaîne — permet de dériver mécaniquement la plupart des fonctions élémentaires sans revenir à chaque fois à la définition par la limite.

Les dérivées sont fondamentales pour l’optimisation (recherche des maxima et minima), la physique (la vitesse est la dérivée de la position, l’accélération de la vitesse), l’apprentissage automatique (descente de gradient) et l’économie (coût / revenu marginal).