Fonctions paramétriques vs implicites

Les formes paramétrique et implicite sont deux façons de décrire des courbes qui ne rentrent pas dans la forme simple "$y$ comme fonction de $x$".

Paramétrique

Une forme paramétrique exprime à la fois $x$ et $y$ comme des fonctions d'une troisième variable $t$ (le paramètre, souvent le temps) :

$x = f(t), \quad y = g(t)$

Exemple : un cercle de rayon 1 : $x = \cos t$, $y = \sin t$ pour $t \in [0, 2\pi]$.

Atouts : décrit naturellement le mouvement (chaque $t$ donne une position), gère trivialement les boucles et les auto-intersections.

Implicite

Une forme implicite utilise une seule équation :

$F(x, y) = 0$

Le même cercle : $x^2 + y^2 - 1 = 0$.

Atouts : équation algébrique unique, facile de tester si un point est sur la courbe (il suffit de substituer et de vérifier).

Quand utiliser laquelle

Situation	Meilleure forme
Mouvement / trajectoire	Paramétrique
Différentiation implicite nécessaire	Implicite
Courbe avec auto-intersections	Paramétrique
Manipulation algébrique / symbolique	Implicite
Tracé via les valeurs de $t$	Paramétrique

Exemple résolu : dérivée

Pour le cercle $x^2 + y^2 = 1$ :

• Différentiation implicite : $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$, donc $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$.
• Paramétrique ($x = \cos t$, $y = \sin t$) : $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{\cos t}{-\sin t} = -\frac{\cos t}{\sin t} = -\frac{x}{y}$. ✓

Les deux donnent la même réponse ; la procédure diffère.

Conversion

On peut parfois convertir entre les formes en éliminant le paramètre (paramétrique → implicite) ou en paramétrant (implicite → paramétrique). Pas toujours possible proprement.