Quadrilatères — formules d’aire

Carré

$A = s^2$

Côté au carré. Un carré est un rectangle aux côtés égaux, donc $A = l\cdot w$ devient $s^2$ .

Rectangle

$A = l \cdot w$

Longueur × largeur. Argument de pavage : un rectangle de côtés entiers $l\times w$ contient exactement $lw$ carrés unités.

Parallélogramme

$A = b \cdot h$

Base × hauteur perpendiculaire — pas le côté oblique. Découpez le triangle d’un côté et glissez-le de l’autre : le parallélogramme devient un rectangle.

Losange

$A = \tfrac{1}{2} d_1 d_2$

Demi-produit des diagonales — elles se coupent perpendiculairement en leur milieu, divisant le losange en quatre triangles rectangles égaux.

Trapèze

$A = \tfrac{1}{2}(a + b)\,h$

Moyenne des deux côtés parallèles $a,b$ multipliée par la hauteur $h$ . Collez deux copies tête-bêche : vous obtenez un parallélogramme de base $a+b$ .

Cerf-volant

$A = \tfrac{1}{2} d_1 d_2$

Même formule du produit des diagonales que le losange — le cerf-volant est la forme plus générale dont les diagonales restent perpendiculaires.

Triangles — selon les données disponibles

Base et hauteur

$A = \tfrac{1}{2} b h$

Demi-base × hauteur — valable pour tout triangle. Deux copies forment un parallélogramme de base $b$ et hauteur $h$ .

Formule de Héron (trois côtés)

$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)},\ s = \tfrac{a+b+c}{2}$

À utiliser quand on n’a que les trois côtés et aucune hauteur. $s$ est le demi-périmètre.

Deux côtés et l’angle compris (CAC)

$A = \tfrac{1}{2} a b \sin C$

Tracez la hauteur depuis le troisième sommet : elle vaut $a\sin C$ , ce qui redonne $\tfrac{1}{2}\cdot\text{base}\cdot\text{hauteur}$ .

Triangle équilatéral

$A = \tfrac{\sqrt{3}}{4} a^2$

Cas particulier du CAC avec $a=b$ et $C = 60^{\circ}$ ; $\sin 60^{\circ} = \tfrac{\sqrt{3}}{2}$ donne la constante $\tfrac{\sqrt{3}}{4}$ .

Cercles et figures courbes

Cercle

$A = \pi r^2$

Pi r au carré. Provient de l’intégration du périmètre $2\pi r$ à mesure que $r$ croît à partir de 0 — démonstration "couches d’oignon".

Secteur circulaire

$A = \tfrac{1}{2} r^2 \theta$

Angle $\theta$ en radians. Fraction $\theta / (2\pi)$ de l’aire totale $\pi r^2$ .

Couronne circulaire

$A = \pi (R^2 - r^2)$

Aire du cercle extérieur moins celle du cercle intérieur — le trou central est soustrait, pas mesuré.

Ellipse

$A = \pi a b$

Demi-grand axe $a$ fois demi-petit axe $b$ fois $\pi$ . Avec $a = b = r$ on retrouve $\pi r^2$ : un cercle est une ellipse à axes égaux.

Polygones réguliers et coordonnées

Polygone régulier (n côtés)

$A = \tfrac{1}{2} P a$

$P$ est le périmètre et $a$ l’apothème (distance du centre au côté). Décomposez en $n$ triangles congruents et la formule tombe.

Hexagone régulier

$A = \tfrac{3\sqrt{3}}{2} a^2$

Un hexagone régulier est exactement six triangles équilatéraux de côté $a$ : $6 \cdot \tfrac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \tfrac{3\sqrt{3}}{2} a^2$ .

Coordonnées (formule du lacet)

$A = \tfrac{1}{2}\left|\sum_{i=1}^{n} (x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i)\right|$

Injectez les coordonnées des sommets $(x_i, y_i)$ dans l’ordre, en bouclant ( $x_{n+1}=x_1$ ). Fonctionne pour tout polygone simple — pas besoin de trianguler.

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