Calculadora del teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras es una relación fundamental de la geometría euclidiana entre los tres lados de un triángulo rectángulo. Establece que el cuadrado de la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto) es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados (los catetos).

$a^2 + b^2 = c^2$

donde:

• $a$ y $b$ son las longitudes de los dos catetos
• $c$ es la longitud de la hipotenusa (el lado más largo)

Despejar cada lado

• Hipotenusa: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$
• Cateto $a$: $a = \sqrt{c^2 - b^2}$
• Cateto $b$: $b = \sqrt{c^2 - a^2}$

Nota histórica

Lleva el nombre del antiguo matemático griego Pitágoras (c. 570–495 a. C.), pero este teorema ya era conocido por los matemáticos babilonios más de mil años antes. Es uno de los teoremas más demostrados de las matemáticas, con cientos de demostraciones distintas.

Ternas pitagóricas

Una terna pitagórica consta de tres enteros positivos $a$, $b$, $c$ que satisfacen $a^2 + b^2 = c^2$. Ejemplos comunes:

• $(3, 4, 5)$
• $(5, 12, 13)$
• $(8, 15, 17)$
• $(7, 24, 25)$

Proceso paso a paso

1. Identifica el ángulo recto y etiqueta los lados: $a$, $b$ (catetos) y $c$ (hipotenusa)
2. Determina qué lado es desconocido
3. Sustituye los valores conocidos en $a^2 + b^2 = c^2$
4. Despeja el lado desconocido
5. Simplifica el resultado (forma exacta o decimal)

Hallar la hipotenusa

Dados los catetos $a$ y $b$:

$c = \sqrt{a^2 + b^2}$

Ejemplo: Si $a = 6$ y $b = 8$, entonces $c = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.

Hallar un cateto

Dada la hipotenusa $c$ y un cateto $a$:

$b = \sqrt{c^2 - a^2}$

Ejemplo: Si $c = 13$ y $a = 5$, entonces $b = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$.

Comprobar si un triángulo es rectángulo

Dados tres lados, comprueba si $a^2 + b^2 = c^2$ (donde $c$ es el lado más largo):

• Si $a^2 + b^2 = c^2$: triángulo rectángulo
• Si $a^2 + b^2 > c^2$: triángulo acutángulo
• Si $a^2 + b^2 < c^2$: triángulo obtusángulo

Conexión con la fórmula de la distancia

La distancia entre dos puntos $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$ se deriva del teorema de Pitágoras:

$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$

Fórmulas comunes

• Confundir la hipotenusa con un cateto: la hipotenusa es siempre el lado más largo, opuesto al ángulo recto. Usarla como cateto en la fórmula da resultados incorrectos.
• Olvidar tomar la raíz cuadrada: tras calcular $a^2 + b^2$, debes tomar $\sqrt{a^2 + b^2}$ para obtener $c$, no dejarlo como $a^2 + b^2$.
• Restar en el sentido equivocado: al hallar un cateto, calcula $c^2 - a^2$, no $a^2 - c^2$ (que daría un número negativo bajo el radical).
• Aplicar el teorema a triángulos no rectángulos: el teorema de Pitágoras solo funciona para triángulos rectángulos. Para otros triángulos, usa el teorema del coseno.
• Redondear demasiado pronto: mantén el valor exacto bajo la raíz cuadrada el mayor tiempo posible para conservar la precisión.