Sean A = {2, 4, 5, 6}, B = {1, 3, 5, 7}, C = {3, 4, 6, 9, 10} y D = {1, 2, 3, 7, 8, 9}. Halla A ∪ B, B ∪ C, C ∪ D, A ∩ B, C ∩ D y D ∩ A.

Step-by-step solution

1. 1

   Fija las dos definiciones antes de calcular. $A\cup B$ («unión») contiene todo elemento que esté en $A$ o en $B$ o en ambos, listado una sola vez. $A\cap B$ («intersección») contiene solo los elementos que están en los dos. Una costumbre fiable es escribir las respuestas en orden creciente, para que sea fácil detectar un elemento que falte o que se repita.

2. 2

   Calcula las tres uniones. Junta las listas y elimina las repeticiones:

   $A\cup B=\{1,2,3,4,5,6,7\}$

   $B\cup C=\{1,3,4,5,6,7,9,10\}$

   $C\cup D=\{1,2,3,4,6,7,8,9,10\}$

   Fíjate en que el $5$ aparece tanto en $A$ como en $B$, pero en $A\cup B$ se escribe una sola vez.

3. 3

   Calcula A ∩ B. Recorre $A=\{2,4,5,6\}$ frente a $B=\{1,3,5,7\}$: solo el $5$ está en los dos.

   $A\cap B=\{5\}$

4. 4

   Calcula C ∩ D. $C=\{3,4,6,9,10\}$ y $D=\{1,2,3,7,8,9\}$ comparten el $3$ y el $9$.

   $C\cap D=\{3,9\}$

5. 5

   Calcula D ∩ A. $D=\{1,2,3,7,8,9\}$ y $A=\{2,4,5,6\}$ solo comparten el $2$. La intersección es conmutativa, así que $D\cap A=A\cap D$.

   $D\cap A=\{2\}$

   $\boxed{A\cup B=\{1,\ldots,7\},\ B\cup C=\{1,3,4,5,6,7,9,10\},\ C\cup D=\{1,2,3,4,6,7,8,9,10\},\ A\cap B=\{5\},\ C\cap D=\{3,9\},\ D\cap A=\{2\}}$

6. 6

   Comprueba cada pareja con la identidad de conteo. $|X\cup Y|=|X|+|Y|-|X\cap Y|$. Para $A$ y $B$: $4+4-1=7$ ✓. Para $C$ y $D$: $5+6-2=9$ ✓. Para $B$ y $C$: $|B\cap C|=|\{3\}|=1$, así que $4+5-1=8$ ✓. Las tres uniones tienen los tamaños previstos.