Halla el máximo común divisor de p = 3³ × 5⁴ × 7⁵ × 11 y q = 3 × 5³ × 7⁴. Da la respuesta en forma de potencias.

Step-by-step solution

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   Fíjate en que los números ya vienen factorizados. Tanto $p$ como $q$ se te entregan como productos de potencias de primos. Ese es todo el regalo de esta pregunta: la parte difícil de un m.c.d. —descomponer cada número en primos— ya está hecha, así que no debes multiplicar. Solo $p$ vale $3^3\times5^4\times7^5\times11 = 3{,}119{,}799{,}375$, y volver a factorizar eso sería trabajo inútil.

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   Recuerda la regla de los exponentes para el m.c.d. El m.c.d. es el mayor número que divide a ambos. Una potencia de primo $r^k$ divide a $p$ solo si $k$ es a lo sumo el exponente de $r$ en $p$, y divide a $q$ solo si $k$ es a lo sumo el exponente en $q$. Así que, para cada primo, se toma el menor de los dos exponentes:

   $\text{m.c.d.} = \prod_r r^{\min(a_r,\,b_r)}$

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   Alinea los primos uno junto a otro. Escribe el exponente de cada número para cada primo que aparezca, usando exponente $0$ cuando un primo falte:

   primo	en $p$	en $q$	menor
   $3$	$3$	$1$	$1$
   $5$	$4$	$3$	$3$
   $7$	$5$	$4$	$4$
   $11$	$1$	$0$	$0$

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   Trata con cuidado el primo 11. Aquí es donde suele perderse el punto. El $11$ aparece en $p$ pero no en $q$, así que su exponente en $q$ es $0$ y $\min(1,0)=0$. Como $11^0=1$, el factor $11$ desaparece por completo del m.c.d.: un m.c.d. nunca puede contener un primo que solo tiene uno de los dos números.

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   Arma la respuesta en forma de potencias.

   $\text{m.c.d.}(p,q) = 3^1 \times 5^3 \times 7^4 = 3 \times 5^3 \times 7^4$

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   Comprueba dividiendo. Al multiplicar se obtiene $3\times125\times2401 = 900{,}375$. Dividiendo: $q \div 900{,}375 = 1$ —más sencillo aún, $q = 3\times5^3\times7^4 = 900{,}375$ exactamente—, así que el m.c.d. es igual al propio $q$, lo cual tiene sentido porque cada exponente de $q$ es a lo sumo el exponente correspondiente de $p$. Por lo tanto $q$ divide a $p$, y $900{,}375$ divide a ambos.