Serie de Taylor

La serie de Taylor de una función $f$ alrededor de un punto $a$ es

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots$

Cuando $a = 0$ la serie se llama serie de Maclaurin.

Desarrollos famosos:

• $e^x = \sum \frac{x^n}{n!}$
• $\sin x = \sum \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
• $\cos x = \sum \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$
• $\frac{1}{1-x} = \sum x^n$ (para $|x| < 1$).

Truncar la serie en el grado $n$ produce una aproximación polinómica. Así es como las calculadoras computan internamente las funciones trigonométricas y exponenciales, y como la física aproxima el comportamiento de "ángulo pequeño" o "baja velocidad". La serie de Taylor existe siempre que la función sea infinitamente derivable y el término de resto tienda a cero.