Serie (suma infinita)

Una serie es la suma de los términos de una sucesión. La serie finita $\sum_{i=1}^n a_i = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$ es simplemente una suma ordinaria. La serie infinita $\sum_{i=1}^\infty a_i$ es el límite de las sumas parciales $S_n = \sum_{i=1}^n a_i$ cuando $n \to \infty$.

Si $\lim_{n\to\infty} S_n$ existe y es finito, la serie converge; en caso contrario diverge. Ejemplos famosos:

• La serie geométrica $\sum r^n$ converge a $\frac{1}{1-r}$ cuando $|r| < 1$.
• La serie armónica $\sum \frac{1}{n}$ diverge (lentamente).
• Problema de Basilea: $\sum \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$.

La convergencia se decide mediante criterios: del cociente, de la raíz, integral, de comparación, de series alternadas. Las series de Taylor aproximan funciones mediante polinomios de grado arbitrariamente alto — el fundamento del análisis numérico y de las aproximaciones en física.