Cuadriláteros — fórmulas de área

Cuadrado

$A = s^2$

Lado al cuadrado. Un cuadrado es un rectángulo de lados iguales, por lo que $A = l\cdot w$ se reduce a $s^2$ .

Rectángulo

$A = l \cdot w$

Largo × ancho. Argumento de baldosas unitarias: un rectángulo de lados enteros $l\times w$ contiene exactamente $lw$ cuadrados unitarios.

Paralelogramo

$A = b \cdot h$

Base × altura perpendicular — no el lado inclinado. Corta el triángulo de un extremo y deslízalo al otro para convertir el paralelogramo en un rectángulo.

Rombo

$A = \tfrac{1}{2} d_1 d_2$

La mitad del producto de las diagonales: se bisecan perpendicularmente, dividiendo el rombo en cuatro triángulos rectángulos iguales.

Trapecio

$A = \tfrac{1}{2}(a + b)\,h$

Promedio de los dos lados paralelos $a,b$ , por la altura $h$ . Pega dos copias en sentido opuesto y obtienes un paralelogramo de base $a+b$ .

Cometa

$A = \tfrac{1}{2} d_1 d_2$

Misma fórmula del producto de diagonales que el rombo: una cometa es la forma más general cuyas diagonales siguen siendo perpendiculares.

Triángulos — según los datos disponibles

Base y altura

$A = \tfrac{1}{2} b h$

Mitad de base por altura — vale para cualquier triángulo. Dos copias forman un paralelogramo de base $b$ y altura $h$ .

Fórmula de Herón (tres lados)

$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)},\ s = \tfrac{a+b+c}{2}$

Usar cuando solo se conocen las tres longitudes y ninguna altura. $s$ es el semiperímetro.

Dos lados y el ángulo incluido (LAL)

$A = \tfrac{1}{2} a b \sin C$

Baja la altura desde el tercer vértice; vale $a\sin C$ , lo que da el clásico $\tfrac{1}{2}\cdot\text{base}\cdot\text{altura}$ .

Triángulo equilátero

$A = \tfrac{\sqrt{3}}{4} a^2$

Caso particular de LAL con $a=b$ y $C = 60^{\circ}$ ; $\sin 60^{\circ} = \tfrac{\sqrt{3}}{2}$ produce la constante $\tfrac{\sqrt{3}}{4}$ .

Círculos y figuras curvas

Círculo

$A = \pi r^2$

Pi por r al cuadrado. Surge al integrar la circunferencia $2\pi r$ a medida que $r$ crece desde 0 — derivación por anillos.

Sector circular

$A = \tfrac{1}{2} r^2 \theta$

Ángulo $\theta$ en radianes. Es la fracción $\theta / (2\pi)$ del área completa $\pi r^2$ .

Corona circular (anillo)

$A = \pi (R^2 - r^2)$

Área del círculo exterior menos la del interior — el hueco central se resta, no se mide.

Elipse

$A = \pi a b$

Semieje mayor $a$ por semieje menor $b$ por $\pi$ . Cuando $a = b = r$ recuperas $\pi r^2$ : un círculo es una elipse con ejes iguales.

Polígonos regulares y coordenadas

Polígono regular (n lados)

$A = \tfrac{1}{2} P a$

$P$ es el perímetro y $a$ el apotema (distancia del centro al lado). Descompón en $n$ triángulos congruentes y la fórmula se obtiene sola.

Hexágono regular

$A = \tfrac{3\sqrt{3}}{2} a^2$

Un hexágono regular son seis triángulos equiláteros de lado $a$ : $6 \cdot \tfrac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \tfrac{3\sqrt{3}}{2} a^2$ .

Coordenadas (fórmula del cordón)

$A = \tfrac{1}{2}\left|\sum_{i=1}^{n} (x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i)\right|$

Sustituye las coordenadas de los vértices $(x_i, y_i)$ en orden, cerrando al final ( $x_{n+1}=x_1$ ). Vale para cualquier polígono simple — no hace falta triangular.

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