Descomposición en fracciones parciales: el flujo de trabajo completo

La descomposición en fracciones parciales es la destreza algebraica que te permite integrar cualquier función racional del planeta. En lugar de pelear con una fracción fea, la divides en piezas fáciles de integrar término a término. Esta guía recorre todos los casos que encontrarás.

El planteamiento

Una función racional es $\frac{P(x)}{Q(x)}$ donde $P, Q$ son polinomios. Las fracciones parciales solo funcionan cuando el grado de $P$ < grado de $Q$. Si no es así, haz primero la división larga de polinomios para separar la parte polinómica.

Tras dividir, factoriza $Q(x)$ completamente sobre los reales. Cada factor cae en una de cuatro categorías.

Los cuatro casos

Caso 1: factores lineales distintos

Si $Q(x) = (x - a)(x - b)$, escribe:

$\frac{P(x)}{(x-a)(x-b)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}$

Ejemplo. Descompón $\frac{5x - 1}{(x - 1)(x + 2)}$.

Multiplica todo: $5x - 1 = A(x + 2) + B(x - 1)$.

Sustituye $x = 1$: $4 = 3A \Rightarrow A = 4/3$.
Sustituye $x = -2$: $-11 = -3B \Rightarrow B = 11/3$.

Así que $\frac{5x-1}{(x-1)(x+2)} = \frac{4/3}{x-1} + \frac{11/3}{x+2}$.

Caso 2: factor lineal repetido

Para $(x - a)^k$, necesitas un término por cada potencia hasta $k$:

$\frac{A_1}{x-a} + \frac{A_2}{(x-a)^2} + \dots + \frac{A_k}{(x-a)^k}$

Caso 3: factor cuadrático irreducible

Para cada $x^2 + bx + c$ irreducible, usa un numerador con dos incógnitas:

$\frac{Bx + C}{x^2 + bx + c}$

Caso 4: cuadrático irreducible repetido

Misma idea que el caso 2, pero cada potencia recibe una forma $Bx + C$.

Aplicación a la integración

Una vez descompuesto, integra término a término:

• $\int \frac{1}{x - a} dx = \ln|x - a| + C$
• $\int \frac{1}{(x - a)^k} dx = \frac{-1}{(k-1)(x-a)^{k-1}} + C$ para $k > 1$
• $\int \frac{Bx + C}{x^2 + bx + c} dx$ se divide en una parte $\ln$ y una parte $\arctan$.

Errores comunes

• Olvidar hacer la división larga primero cuando el grado de $P$ ≥ grado de $Q$.
• Omitir los términos repetidos —$(x - 1)^3$ requiere tres fracciones separadas.
• Intentar factorizar cuadráticas irreducibles —comprueba el discriminante antes de forzar raíces reales.

Pruébalo con el Solucionador de integrales con IA

El Solucionador de integrales hace automáticamente la descomposición en fracciones parciales cuando es necesario y muestra cada paso.

Referencias relacionadas:

• Calculadora de factorización —para descomponer $Q(x)$
• Calculadora de polinomios —para el planteamiento de la división larga
• Calculadora de límites —usada en algunos trucos de verificación de fracciones parciales