Rechner für die Abstandsformel

Die Abstandsformel berechnet den geradlinigen Abstand zwischen zwei Punkten im Koordinatenraum. Sie ist eine direkte Folge des Satzes des Pythagoras, angewendet auf das rechtwinklige Dreieck, das durch die horizontale und vertikale Trennung zwischen den Punkten gebildet wird.

2D-Form — für Punkte $P_1 = (x_1, y_1)$ und $P_2 = (x_2, y_2)$:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

3D-Form — für Punkte $(x_1, y_1, z_1)$ und $(x_2, y_2, z_2)$:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

$n$-dimensionale Form (euklidischer Abstand):

$d = \sqrt{\sum_{i=1}^n (b_i - a_i)^2}$

Dies verallgemeinert sich auf natürliche Weise auf eine beliebige Anzahl von Dimensionen, weshalb es der zentrale 'Abstands'-Begriff in der Physik, Statistik und im maschinellen Lernen ist.

Schritt für Schritt

1. Beschrifte die Punkte $(x_1, y_1)$ und $(x_2, y_2)$. Beide Zuordnungen funktionieren — die Formel ist symmetrisch.
2. Berechne die Differenzen: $\Delta x = x_2 - x_1$, $\Delta y = y_2 - y_1$.
3. Quadriere sie: $(\Delta x)^2$ und $(\Delta y)^2$.
4. Summiere: $(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2$.
5. Ziehe die Wurzel: $d = \sqrt{\text{Summe}}$.
6. Vereinfache die Wurzel, wenn möglich (z. B. $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$).

Geometrische Herleitung

Zeichne eine waagerechte Strecke von $(x_1, y_1)$ nach $(x_2, y_1)$ — Länge $|x_2 - x_1|$.
Zeichne eine senkrechte Strecke von $(x_2, y_1)$ nach $(x_2, y_2)$ — Länge $|y_2 - y_1|$.
Die ursprüngliche Strecke ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit diesen beiden Katheten, also nach dem Satz des Pythagoras:

$d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$

Das Wurzelziehen ergibt die Abstandsformel. Die Beträge werden nicht benötigt, da das Quadrieren das Vorzeichen entfernt.

Verwandte Formeln

• Mittelpunkt: $M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$ — der Durchschnitt der Koordinaten.
• Steigung: $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ — nutzt dieselben Differenzen wie die Abstandsformel.
• Abstand vom Punkt zum Ursprung: $d = \sqrt{x^2 + y^2}$ (Sonderfall mit $(x_1, y_1) = (0, 0)$).

Manhattan-/Taxi-Abstand (zum Vergleich)

Beachte, dass die obige Formel der euklidische Abstand ist. Der Manhattan-Abstand $|x_2 - x_1| + |y_2 - y_1|$ misst die Strecke auf einem Gitter (keine Diagonalen). Sie sind unterschiedliche Metriken — stelle sicher, dass du weißt, welche dein Problem verlangt.

• Das Quadrieren vergessen: $d \ne (x_2 - x_1) + (y_2 - y_1)$. Die Quadrate (und die Wurzel) sind unverzichtbar.
• Vorzeichenfehler: $(x_2 - x_1)^2 = (x_1 - x_2)^2$, also spielt die Reihenfolge der Subtraktion keine Rolle — aber nur wegen des Quadrats. Lass das Quadrat nicht weg, nur weil du die Differenz 'siehst'.
• Vergessen, die Wurzel zu ziehen: $(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$ ist $d^2$, nicht $d$. Viele Schüler hören einen Schritt zu früh auf.
• Die Wurzel nicht vereinfachen: $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$. $\sqrt{8}$ stehen zu lassen ist technisch korrekt, wird aber in Prüfungen meist abgewertet.
• 2D und 3D vermischen: Wenn dein Problem in 3D ist, schließe den Term $(z_2 - z_1)^2$ ein. Wenn 2D, erfinde keinen $z$-Term.