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Rechner für Dreifachintegrale

Berechne Dreifachintegrale in kartesischen, Zylinder- oder Kugelkoordinaten mit KI-gestützten Schritt-für-Schritt-Lösungen

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∑Math Input
triple integral of xyz over [0,1]x[0,1]x[0,1]
triple integral of x^2+y^2+z^2 in spherical coords over unit ball
triple integral of z over cylinder x^2+y^2<=1, 0<=z<=2
triple integral of 1 over tetrahedron bounded by x+y+z=1 and axes

Was ist ein Dreifachintegral?

Ein Dreifachintegral erweitert das Konzept von Einfach- und Doppelintegralen auf drei Dimensionen. Für eine Funktion f(x,y,z)f(x, y, z), die auf einem räumlichen Bereich E⊂R3E \subset \mathbb{R}^3 definiert ist:

∭Ef(x,y,z) dV\iiint_E f(x,y,z)\,dV

liefert die gesamte Akkumulation von ff über EE. Das infinitesimale Volumenelement dVdV wird in kartesischen Koordinaten zu dx dy dzdx\,dy\,dz, kann aber je nach Geometrie von EE umgeschrieben werden.

Häufige physikalische Bedeutungen:

  • Wenn f(x,y,z)=1f(x,y,z) = 1, liefert das Integral das Volumen von EE.
  • Wenn f(x,y,z)=ρ(x,y,z)f(x,y,z) = \rho(x,y,z) eine Dichte ist, liefert es die Gesamtmasse.
  • Momente, Schwerpunkte und Trägheitsmomente sind alle Dreifachintegrale gewichteter Dichtefunktionen.

Der Schlüssel zur Berechnung eines Dreifachintegrals ist die Wahl des richtigen Koordinatensystems und das korrekte Aufstellen der Grenzen.

So stellt man Dreifachintegrale auf und berechnet sie

Schritt 1: Koordinaten wählen

Geometrie des BereichsBeste KoordinatenVolumenelement
Quader / allgemeinKartesisch (x,y,z)(x,y,z)dx dy dzdx\,dy\,dz
ZylindersymmetrieZylinder (r,θ,z)(r, \theta, z)r dr dθ dzr\,dr\,d\theta\,dz
KugelsymmetrieKugel (ρ,φ,θ)(\rho, \varphi, \theta)ρ2sin⁡φ dρ dφ dθ\rho^2 \sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta

Schritt 2: Grenzen aufstellen

Projiziere den Bereich auf eine Koordinatenebene, um die Integrationsreihenfolge zu bestimmen. Für einen Typ-I-Körper, oben durch z=g2(x,y)z = g_2(x,y) und unten durch z=g1(x,y)z = g_1(x,y) begrenzt:

∭Ef dV=∬D[∫g1(x,y)g2(x,y)f(x,y,z) dz]dA\iiint_E f \, dV = \iint_D \left[\int_{g_1(x,y)}^{g_2(x,y)} f(x,y,z)\,dz\right] dA

Schritt 3: Iterativ berechnen

Integriere zuerst das Innerste und behandle die äußeren Variablen als Konstanten. Gehe dann nach außen weiter.

Zylinderkoordinaten

Nutze die Substitutionen x=rcos⁡θx = r\cos\theta, y=rsin⁡θy = r\sin\theta, z=zz = z:

∭Ef(x,y,z) dV=∭Ef(rcos⁡θ,rsin⁡θ,z)⋅r dr dθ dz\iiint_E f(x,y,z)\,dV = \iiint_E f(r\cos\theta, r\sin\theta, z) \cdot r\,dr\,d\theta\,dz

Der zusätzliche Faktor rr stammt aus der Jacobi-Determinante.

Kugelkoordinaten

Nutze x=ρsin⁡φcos⁡θx = \rho\sin\varphi\cos\theta, y=ρsin⁡φsin⁡θy = \rho\sin\varphi\sin\theta, z=ρcos⁡φz = \rho\cos\varphi:

∭Ef dV=∭Ef⋅ρ2sin⁡φ dρ dφ dθ\iiint_E f\,dV = \iiint_E f \cdot \rho^2 \sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta

Die Jacobi-Determinante ρ2sin⁡φ\rho^2 \sin\varphi ist entscheidend — sie zu vergessen ist der mit Abstand häufigste Fehler.

Häufige Fehler, die man vermeiden sollte

  • Die Jacobi-Determinante vergessen: Zylinderkoordinaten erhalten einen Faktor rr, Kugelkoordinaten ρ2sin⁡φ\rho^2 \sin\varphi. Das auszulassen liefert jedes Mal eine falsche Antwort.
  • Falsche Reihenfolge der Grenzen: Die innersten Grenzen dürfen von äußeren Variablen abhängen, aber die äußersten Grenzen müssen Konstanten sein. Das umzukehren erzeugt Unsinn.
  • Vorzeichenfehler mit sin⁡φ\sin\varphi: In Kugelkoordinaten gilt φ∈[0,π]\varphi \in [0, \pi] (also sin⁡φ≥0\sin\varphi \geq 0). φ∈[0,2π]\varphi \in [0, 2\pi] zu verwenden ist falsch.
  • Konventionen vermischen: Manche Bücher nutzen φ\varphi für den Polarwinkel (von der z-Achse), andere für den Azimutwinkel. Bleibe bei einer Konvention konsistent.
  • Den Bereich nicht skizzieren: Bei nicht-trivialen Körpern bewahrt dich eine schnelle Skizze vor unmöglichen Grenzen.

Examples

Step 1: Stelle das iterierte Integral auf: ∫01∫01∫01xyz dz dy dx\int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 xyz \, dz\, dy\, dx
Step 2: Integriere über zz: ∫01xyz dz=xyz22∣01=xy2\int_0^1 xyz \, dz = \frac{xy z^2}{2}\big|_0^1 = \frac{xy}{2}
Step 3: Integriere über yy: ∫01xy2 dy=xy24∣01=x4\int_0^1 \frac{xy}{2} \, dy = \frac{x y^2}{4}\big|_0^1 = \frac{x}{4}
Step 4: Integriere über xx: ∫01x4 dx=x28∣01=18\int_0^1 \frac{x}{4} \, dx = \frac{x^2}{8}\big|_0^1 = \frac{1}{8}
Answer: 18\dfrac{1}{8}

Step 1: In Kugelkoordinaten: 0≤ρ≤10 \leq \rho \leq 1, 0≤φ≤π0 \leq \varphi \leq \pi, 0≤θ≤2π0 \leq \theta \leq 2\pi
Step 2: Volumen = ∫02π∫0π∫01ρ2sin⁡φ dρ dφ dθ\int_0^{2\pi} \int_0^\pi \int_0^1 \rho^2 \sin\varphi \, d\rho \, d\varphi \, d\theta
Step 3: Innen: ∫01ρ2 dρ=13\int_0^1 \rho^2 \, d\rho = \frac{1}{3}
Step 4: Mitte: ∫0πsin⁡φ dφ=2\int_0^\pi \sin\varphi \, d\varphi = 2
Step 5: Außen: ∫02πdθ=2π\int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi
Step 6: Produkt: 13⋅2⋅2π=4π3\frac{1}{3} \cdot 2 \cdot 2\pi = \frac{4\pi}{3}
Answer: 4π3\dfrac{4\pi}{3}

Step 1: Wechsle zu Zylinderkoordinaten: 0≤r≤10 \leq r \leq 1, 0≤θ≤2π0 \leq \theta \leq 2\pi, 0≤z≤20 \leq z \leq 2
Step 2: Integral = ∫02π∫01∫02z⋅r dz dr dθ\int_0^{2\pi} \int_0^1 \int_0^2 z \cdot r \, dz \, dr \, d\theta
Step 3: Innen: ∫02z dz=2\int_0^2 z \, dz = 2
Step 4: Mitte: ∫012r dr=1\int_0^1 2r \, dr = 1
Step 5: Außen: ∫02π1 dθ=2π\int_0^{2\pi} 1 \, d\theta = 2\pi
Answer: 2π2\pi

Frequently Asked Questions

Nutze Zylinderkoordinaten, wenn der Bereich Rotationssymmetrie um die z-Achse hat, aber keine besondere radiale Struktur (Zylinder, Paraboloide, Kegel über/unter einer Scheibe). Nutze Kugelkoordinaten, wenn der Bereich von Kugeln oder Kegeln vom Ursprung begrenzt wird oder volle 3D-Radialsymmetrie hat (Kugeln, Kugelschalen).

Die Jacobi-Determinante ist die Determinante, die das Volumenelement beim Koordinatenwechsel anpasst. In Zylinderkoordinaten ist sie gleich r, in Kugelkoordinaten ρ² sin φ. Ohne sie misst das Integral das falsche Volumen.

Betrachte den Bereich: integriere zuerst die Variable mit von anderen abhängigen Grenzen (innerste), dann gehe nach außen. Die äußerste Variable muss konstante Grenzen haben. Wenn eine Reihenfolge zu hässlichen Grenzen führt, tausche die Reihenfolge mithilfe einer Skizze des Bereichs.

Ja, wenn der Integrand negativ sein kann. Bei Volumenberechnungen ist der Integrand 1 und die Antwort immer positiv. Für physikalische Größen wie orientierten Fluss oder Nettokraft sind negative Werte möglich und sinnvoll.

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