Taylor-Reihen-Rechner

Eine Taylor-Reihe stellt eine Funktion als unendliches Polynom dar, das aus den Ableitungen der Funktion an einem einzigen Punkt $a$ aufgebaut ist:

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n$

Wenn $a = 0$, wird die Reihe Maclaurin-Reihe genannt:

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$

Warum das wichtig ist: Taylor-Reihen wandeln Berechnungen mit möglicherweise schwierigen Funktionen ($\sin x$, $e^x$, $\ln x$, $\sqrt{1 + x}$) in Berechnungen mit Polynomen um, die Computer und Menschen bewältigen können. Sie sind die Grundlage numerischer Methoden, asymptotischer Entwicklungen und der Approximationstheorie.

Das Taylor-Polynom vom Grad $n$ ist die Partialsumme, die Terme bis $(x-a)^n$ behält. Es ist in einem präzisen Sinn die beste polynomiale Näherung von $f$ in der Nähe von $a$ (es stimmt im Wert und in den ersten $n$ Ableitungen überein).

Schritt 1: Ableitungen am Entwicklungspunkt berechnen

Für $f(x)$ und den Entwicklungspunkt $a$ berechne $f(a), f'(a), f''(a), \ldots, f^{(n)}(a)$.

Schritt 2: In die Formel einsetzen

$T_n(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n$

Häufige Maclaurin-Reihen zum Merken

$e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$

$\sin x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$

$\cos x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$

$\frac{1}{1 - x} = \sum_{n=0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots, \quad |x| < 1$

$\ln(1 + x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots, \quad -1 < x \leq 1$

Konvergenzradius

Eine Taylor-Reihe konvergiert nur innerhalb eines Konvergenzradius $R$ um $a$. Finde ihn mit dem Quotientenkriterium:

$R = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$

Außerhalb dieses Radius divergiert die Reihe und stellt die Funktion nicht dar. Innerhalb ist die Konvergenz auf kompakten Teilmengen meist gleichmäßig.

Bekannte Reihen umformen

Für mehr Tempo substituiere, differenziere oder integriere bekannte Reihen, statt Ableitungen von Grund auf zu berechnen:

• $e^{-x^2} = 1 - x^2 + \frac{x^4}{2!} - \frac{x^6}{3!} + \cdots$ (setze $-x^2$ in $e^x$ ein)
• $\frac{1}{(1-x)^2} = \frac{d}{dx}\frac{1}{1-x} = \sum_{n=1}^\infty n x^{n-1}$

• Die Fakultät vergessen: Der $n$-te Term hat ein $\frac{1}{n!}$, nicht nur die Ableitung. Das auszulassen liefert eine völlig falsche Antwort.
• Die Reihe außerhalb ihres Konvergenzradius verwenden: $\frac{1}{1-x}$ ist nicht gleich $\sum x^n$, wenn $|x| > 1$ — die Reihe divergiert dort.
• Vergessen, um $a$ zu zentrieren: Eine Taylor-Reihe um $a$ nutzt Potenzen von $(x-a)$, nicht von $x$.
• Grad und Anzahl der Terme verwechseln: Ein Taylor-Polynom vom Grad $n$ hat $n+1$ Terme (Grade $0$ bis $n$).
• Vorzeichenfehler bei Substitution: $\sin(-x) = -\sin(x)$, also hat die Reihe von $\sin(-x)$ im Vergleich zu $\sin(x)$ umgekehrte alternierende Vorzeichen.