Rechner für partielle Ableitungen

Eine partielle Ableitung misst, wie sich eine Funktion mehrerer Variablen bezüglich einer Variablen ändert, während die anderen festgehalten werden. Für $f(x, y)$:

$\frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h, y) - f(x, y)}{h}$

Die Notation $\partial$ (geschwungenes d) unterscheidet partielle Ableitungen von gewöhnlichen Ableitungen $\frac{d}{dx}$. Gleichwertige Schreibweisen sind $f_x$, $\partial_x f$, $D_x f$.

Geometrische Bedeutung: $\frac{\partial f}{\partial x}(a, b)$ ist die Steigung der Fläche $z = f(x,y)$ bei $(a,b)$ in $x$-Richtung — die Tangente liegt in der Ebene $y = b$.

Warum das wichtig ist: Gradientenabstieg, Optimierung, Fehlerfortpflanzung und ein Großteil der Vektoranalysis beruhen auf partiellen Ableitungen. Der Gradient $\nabla f = (f_x, f_y, f_z)$ zeigt in die Richtung des steilsten Anstiegs.

Regel 1: Andere Variablen als Konstanten behandeln

Um $\frac{\partial f}{\partial x}$ zu finden, behandle $y, z, \ldots$ als Konstanten und differenziere $f$ als Funktion einer einzigen Variablen $x$.

Beispiel: $f(x, y) = x^2 y + 3y$

• $\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy$ (das $3y$ entfällt, da es kein $x$ enthält)
• $\frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 3$ ($x^2$ wirkt als Koeffizient)

Regel 2: Kettenregel und Produktregel gelten weiterhin

Für $f(x, y) = \sin(xy)$:

$\frac{\partial f}{\partial x} = \cos(xy) \cdot y$

Das $y$ innerhalb der Klammer wird als konstanter Koeffizient behandelt, wenn man $xy$ nach $x$ differenziert.

Partielle Ableitungen höherer Ordnung

$f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \quad f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$

Satz von Schwarz (gemischte partielle Ableitungen): Wenn $f$ stetige zweite partielle Ableitungen hat, dann $f_{xy} = f_{yx}$. Die Reihenfolge der Differentiation spielt keine Rolle.

Gradient und Richtungsableitung

Der Gradient ist der Vektor aller ersten partiellen Ableitungen:

$\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right)$

Die Richtungsableitung in Richtung $\mathbf{u}$ (Einheitsvektor) ist:

$D_\mathbf{u} f = \nabla f \cdot \mathbf{u}$

Maximal, wenn $\mathbf{u}$ entlang $\nabla f$ zeigt — das ist die Richtung des steilsten Anstiegs.

Kettenregel (mehrere Variablen)

Wenn $z = f(x, y)$ und $x = x(t), y = y(t)$:

$\frac{dz}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}$

• Die falsche Variable differenzieren: Erkenne immer, welche Variable 'aktiv' ist und welche festgehalten werden. Die aktive Variable in deinen Notizen zu unterstreichen hilft.
• Die Kettenregel vergessen: $\frac{\partial}{\partial x}\sin(xy) = y\cos(xy)$, nicht nur $\cos(xy)$.
• Notation verwechseln: $f_{xy}$ bedeutet zuerst nach $x$, dann nach $y$ differenzieren (manche Bücher kehren das um — prüfe die Konvention).
• Falsche Gradientenrichtung: $\nabla f$ zeigt in die Richtung des steilsten Anstiegs, nicht der Bewegung. Zum Minimieren bewege dich entgegengesetzt zu $\nabla f$.
• Partielle und totale Ableitungen vermischen: Wenn $x$ und $y$ beide von $t$ abhängen, nutze die Kettenregel — nicht $\partial f/\partial t$, das null ist, wenn $f$ kein explizites $t$ hat.