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Rechner für die Laplace-Transformation

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Laplace transform of e^(2t)*sin(3t)
Laplace transform of t^2
inverse Laplace of 1/(s^2 + 4)
inverse Laplace of s/((s-1)(s+2))

Was ist die Laplace-Transformation?

Die Laplace-Transformation wandelt eine Funktion der Zeit f(t)f(t) in eine Funktion der komplexen Frequenz F(s)F(s) um:

F(s)=L{f(t)}=∫0∞e−stf(t) dtF(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^\infty e^{-st} f(t)\,dt

Die Transformation ist für ss in einer rechten Halbebene Re⁡(s)>σ\operatorname{Re}(s) > \sigma definiert, in der das Integral konvergiert.

Warum das nützlich ist: Laplace wandelt das Differenzieren in eine Multiplikation mit ss um und macht aus linearen GDGLs mit konstanten Koeffizienten algebraische Gleichungen in ss. Du löst die Algebra und bildest dann die inverse Laplace-Transformation, um die Antwort im Zeitbereich zu erhalten.

Laplace-Transformationen behandeln außerdem unstetige und impulsartige Eingaben (Sprungfunktionen, Dirac-Deltas) elegant, was sie in der Regelungstechnik, Signalverarbeitung und Elektrotechnik unverzichtbar macht.

So berechnet man Laplace-Transformationen

Grundlegende Transformationspaare

Präge dir die Kerntabelle ein:

f(t)f(t)F(s)=L{f(t)}F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\}
111s\dfrac{1}{s}
tnt^nn!sn+1\dfrac{n!}{s^{n+1}}
eate^{at}1s−a\dfrac{1}{s - a}
sin⁡(ωt)\sin(\omega t)ωs2+ω2\dfrac{\omega}{s^2 + \omega^2}
cos⁡(ωt)\cos(\omega t)ss2+ω2\dfrac{s}{s^2 + \omega^2}
u(t−a)u(t - a) (Sprung)e−ass\dfrac{e^{-as}}{s}
δ(t−a)\delta(t - a)e−ase^{-as}

Wichtige Eigenschaften

Linearität:

L{af(t)+bg(t)}=aF(s)+bG(s)\mathcal{L}\{a f(t) + b g(t)\} = a F(s) + b G(s)

Erster Verschiebungssatz (s-Verschiebung):

L{eatf(t)}=F(s−a)\mathcal{L}\{e^{at} f(t)\} = F(s - a)

So wird eatsin⁡(ωt)→ω(s−a)2+ω2e^{at}\sin(\omega t) \to \frac{\omega}{(s-a)^2 + \omega^2}.

Differentiation im tt-Bereich:

L{f′(t)}=sF(s)−f(0)\mathcal{L}\{f'(t)\} = sF(s) - f(0)

L{f′′(t)}=s2F(s)−sf(0)−f′(0)\mathcal{L}\{f''(t)\} = s^2 F(s) - s f(0) - f'(0)

Das wandelt GDGLs in Algebra um: Ableitungen werden zu Polynomen in ss multipliziert mit F(s)F(s), wobei die Anfangsbedingungen mit einfließen.

Multiplikation mit tt:

L{tf(t)}=−F′(s)\mathcal{L}\{t f(t)\} = -F'(s)

Inverse Laplace-Transformation

Gegeben F(s)F(s), finde f(t)f(t) so, dass L{f(t)}=F(s)\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s). Standardtechniken:

  1. Partialbruchzerlegung: zerlege F(s)F(s) in einfache rationale Teile, die zur Tabelle passen.
  2. Quadratische Ergänzung: bei Formen 1s2+bs+c\frac{1}{s^2 + bs + c} schreibe als 1(s−a)2+ω2\frac{1}{(s - a)^2 + \omega^2} um, um zum Tabelleneintrag der verschobenen Sinusfunktion zu passen.
  3. Nachschlagen und kombinieren mithilfe der Linearität.

GDGLs mit Laplace lösen

Für y′′+3y′+2y=e−ty'' + 3y' + 2y = e^{-t}, y(0)=0,y′(0)=1y(0) = 0, y'(0) = 1:

  1. Wende Laplace an: s2Y−s⋅0−1+3(sY−0)+2Y=1s+1s^2 Y - s \cdot 0 - 1 + 3(sY - 0) + 2Y = \frac{1}{s+1}
  2. Löse nach YY: Y(s2+3s+2)=1+1s+1Y(s^2 + 3s + 2) = 1 + \frac{1}{s+1}, also Y=s+2(s+1)(s2+3s+2)=1(s+1)2Y = \frac{s + 2}{(s+1)(s^2+3s+2)} = \frac{1}{(s+1)^2} (nach Vereinfachung).
  3. Invertiere: y(t)=te−ty(t) = t e^{-t}.

Sauber und mechanisch — dasselbe Problem mit Variation der Konstanten kostet doppelt so viel Aufwand.

Häufige Fehler, die man vermeiden sollte

  • Anfangsbedingungen vergessen: L{f′}=sF(s)−f(0)\mathcal{L}\{f'\} = sF(s) - f(0). f(0)f(0) wegzulassen ist der mit Abstand häufigste Fehler.
  • Falsches Vorzeichen bei der s-Verschiebung: L{eatf(t)}=F(s−a)\mathcal{L}\{e^{at}f(t)\} = F(s - a), nicht F(s+a)F(s + a). Das Vorzeichen ist entscheidend.
  • Unstetigkeiten falsch behandeln: Nutze bei Sprungeingaben die Einheitssprungfunktion u(t−a)u(t-a) und den Zeitverschiebungssatz L{u(t−a)f(t−a)}=e−asF(s)\mathcal{L}\{u(t-a)f(t-a)\} = e^{-as}F(s).
  • Inverse Transformation ohne Partialbruchzerlegung: 1(s−1)(s+2)\frac{1}{(s-1)(s+2)} lässt sich nicht direkt invertieren — zerlege zuerst.
  • F(s)F(s) mit L−1{F}\mathcal{L}^{-1}\{F\} verwechseln: F(s)F(s) ist die Transformierte, f(t)f(t) das Original. Beende GDGL-Aufgaben immer zurück im Zeitbereich.

Examples

Step 1: Nutze die Regel L{eatf(t)}=F(s−a)\mathcal{L}\{e^{at} f(t)\} = F(s - a) mit f(t)=tf(t) = t, a=2a = 2
Step 2: L{t}=1/s2\mathcal{L}\{t\} = 1/s^2, also F(s)=1/s2F(s) = 1/s^2
Step 3: Wende die s-Verschiebung an: L{te2t}=1/(s−2)2\mathcal{L}\{t e^{2t}\} = 1/(s-2)^2
Answer: 1(s−2)2\dfrac{1}{(s - 2)^2}

Step 1: Vergleiche mit der Tabelle: L{sin⁡(ωt)}=ω/(s2+ω2)\mathcal{L}\{\sin(\omega t)\} = \omega / (s^2 + \omega^2)
Step 2: Hier ist ω2=4\omega^2 = 4, also ω=2\omega = 2
Step 3: Passe die Konstanten an: 1s2+4=12⋅2s2+4\frac{1}{s^2+4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{s^2+4}
Step 4: Daher L−1{1/(s2+4)}=12sin⁡(2t)\mathcal{L}^{-1}\{1/(s^2+4)\} = \frac{1}{2}\sin(2t)
Answer: 12sin⁡(2t)\dfrac{1}{2}\sin(2t)

Step 1: Partialbruchzerlegung: s(s−1)(s+2)=As−1+Bs+2\frac{s}{(s-1)(s+2)} = \frac{A}{s-1} + \frac{B}{s+2}
Step 2: Multipliziere aus: s=A(s+2)+B(s−1)s = A(s+2) + B(s-1)
Step 3: Setze s=1s = 1: 1=3A1 = 3A, also A=1/3A = 1/3
Step 4: Setze s=−2s = -2: −2=−3B-2 = -3B, also B=2/3B = 2/3
Step 5: Invertiere jeden Teil: 13et+23e−2t\frac{1}{3}e^t + \frac{2}{3}e^{-2t}
Answer: 13et+23e−2t\dfrac{1}{3}e^t + \dfrac{2}{3}e^{-2t}

Frequently Asked Questions

Die Laplace-Transformation existiert, wenn das Integral ∫₀^∞ e^(-st)f(t) dt konvergiert. Das erfordert typischerweise, dass f für t → ∞ nicht schneller als exponentiell wächst und Re(s) die exponentielle Ordnung der Funktion übersteigt.

Die Laplace-Transformation integriert über [0, ∞) mit dem Kern e^(-st), wobei s komplex ist; sie behandelt Anfangswertprobleme und exponentiell wachsende Eingaben. Die Fourier-Transformation integriert über (-∞, ∞) mit dem Kern e^(-iωt); sie behandelt den stationären Frequenzgehalt von Funktionen, die im Unendlichen abklingen.

Weil ℒ{f'} = sF(s) - f(0), wird das Differenzieren nach t zur Multiplikation mit s im s-Bereich. Eine lineare GDGL mit konstanten Koeffizienten wird zu einer Polynomgleichung in s, die du algebraisch löst.

Für rationale F(s) mit Zählergrad kleiner als Nennergrad ja — mithilfe der Partialbruchzerlegung und der Standardtabelle. Für nicht-rationale F(s) kann die Inverse Konturintegration (Bromwich-Integral) erfordern oder keine geschlossene Form haben.

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