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Rechner für Doppelintegrale

Berechne Doppelintegrale über rechteckige, allgemeine oder polare Bereiche mit KI-gestützten Schritt-für-Schritt-Lösungen

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double integral of x*y over [0,1]x[0,2]
double integral of x^2+y^2 over unit disk in polar
double integral of e^(x+y) over [0,1]x[0,1]
double integral of y dA over triangle with vertices (0,0),(1,0),(0,1)

Was ist ein Doppelintegral?

Ein Doppelintegral berechnet die Akkumulation einer Funktion f(x,y)f(x, y) über einen zweidimensionalen Bereich DD:

∬Df(x,y) dA\iint_D f(x,y)\,dA

wobei dAdA das infinitesimale Flächenelement ist. In kartesischen Koordinaten ist dA=dx dydA = dx\,dy; in Polarkoordinaten ist dA=r dr dθdA = r\,dr\,d\theta.

Häufige physikalische Bedeutungen:

  • f(x,y)=1f(x,y) = 1 ergibt den Flächeninhalt von DD.
  • f(x,y)=h(x,y)f(x,y) = h(x,y) (Höhenfunktion) ergibt das Volumen unter der Fläche z=h(x,y)z = h(x,y) über DD.
  • f=ρ(x,y)f = \rho(x,y) (Flächendichte) ergibt die Masse einer dünnen Platte.

Die zentralen Fähigkeiten sind: Koordinaten wählen, Grenzen aufstellen und mit dem Satz von Fubini als iterierte einfache Integrale auswerten.

So berechnet man Doppelintegrale

Satz von Fubini

Für ein stetiges ff über einem Rechteck D=[a,b]×[c,d]D = [a, b] \times [c, d]:

∬Df dA=∫ab∫cdf(x,y) dy dx=∫cd∫abf(x,y) dx dy\iint_D f\,dA = \int_a^b \int_c^d f(x,y)\,dy\,dx = \int_c^d \int_a^b f(x,y)\,dx\,dy

Beide Reihenfolgen funktionieren, also wähle die, die einfacher zu integrieren ist.

Bereiche vom Typ I und Typ II

Typ I (yy durch Kurven von xx begrenzt):

D={(x,y):a≤x≤b, g1(x)≤y≤g2(x)}D = \{(x,y) : a \leq x \leq b,\ g_1(x) \leq y \leq g_2(x)\}

∬Df dA=∫ab∫g1(x)g2(x)f(x,y) dy dx\iint_D f\,dA = \int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y)\,dy\,dx

Typ II (xx durch Kurven von yy begrenzt):

D={(x,y):c≤y≤d, h1(y)≤x≤h2(y)}D = \{(x,y) : c \leq y \leq d,\ h_1(y) \leq x \leq h_2(y)\}

∬Df dA=∫cd∫h1(y)h2(y)f(x,y) dx dy\iint_D f\,dA = \int_c^d \int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f(x,y)\,dx\,dy

Polarkoordinaten

Für Bereiche mit Kreissymmetrie nutze x=rcos⁡θx = r\cos\theta, y=rsin⁡θy = r\sin\theta, dA=r dr dθdA = r\,dr\,d\theta:

∬Df(x,y) dA=∬Df(rcos⁡θ,rsin⁡θ) r dr dθ\iint_D f(x,y)\,dA = \iint_D f(r\cos\theta, r\sin\theta)\,r\,dr\,d\theta

Der Faktor rr aus der Jacobi-Determinante ist unverzichtbar — ihn zu vergessen ist der häufigste Fehler.

Wann man die Integrationsreihenfolge tauscht

Wenn ein inneres Integral unlösbar wird (z. B. ∫ex2 dx\int e^{x^2}\,dx hat keine elementare Stammfunktion), macht das Vertauschen der Integrationsreihenfolge das Problem oft lösbar. Skizziere zuerst den Bereich, um äquivalente Grenzen in der anderen Reihenfolge zu finden.

Häufige Fehler, die man vermeiden sollte

  • Falsche Reihenfolge der Grenzen: Innere Grenzen dürfen von äußeren Variablen abhängen, aber äußere Grenzen müssen Konstanten sein. Vertauscht = falsche Antwort.
  • Die polare Jacobi-Determinante vergessen: dA=r dr dθdA = r\,dr\,d\theta, nicht dr dθdr\,d\theta.
  • Den Bereich nicht skizzieren: Bei nicht-rechteckigem DD macht eine Skizze Typ I vs. Typ II offensichtlich.
  • Versuchen, unmögliche innere Funktionen zu integrieren: Wenn du auf ∫ex2 dx\int e^{x^2}\,dx oder einen ähnlichen nicht-elementaren Integranden stößt, tausche die Reihenfolge, bevor du aufgibst.
  • Vorzeichenfehler bei negativen Integranden: Wenn ff über DD das Vorzeichen wechselt, kann das Doppelintegral null sein — das ist korrekt, kein zu 'behebender' Fehler.

Examples

Step 1: Aufstellen: ∫01∫01(x2+y2) dy dx\int_0^1 \int_0^1 (x^2 + y^2)\, dy\, dx
Step 2: Integriere über yy: ∫01(x2+y2) dy=x2⋅1+13=x2+13\int_0^1 (x^2 + y^2)\,dy = x^2 \cdot 1 + \frac{1}{3} = x^2 + \frac{1}{3}
Step 3: Integriere über xx: ∫01(x2+13) dx=13+13=23\int_0^1 (x^2 + \frac{1}{3})\,dx = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}
Answer: 23\dfrac{2}{3}

Step 1: Wechsle zu Polarkoordinaten: x2+y2=r2x^2 + y^2 = r^2, dA=r dr dθdA = r\,dr\,d\theta
Step 2: Grenzen: 0≤r≤10 \leq r \leq 1, 0≤θ≤2π0 \leq \theta \leq 2\pi
Step 3: Das Integral wird zu: ∫02π∫01r2⋅r dr dθ=∫02π∫01r3 dr dθ\int_0^{2\pi} \int_0^1 r^2 \cdot r\, dr\, d\theta = \int_0^{2\pi} \int_0^1 r^3\, dr\, d\theta
Step 4: Innen: ∫01r3 dr=14\int_0^1 r^3\,dr = \frac{1}{4}
Step 5: Außen: ∫02π14 dθ=π2\int_0^{2\pi} \frac{1}{4}\,d\theta = \frac{\pi}{2}
Answer: π2\dfrac{\pi}{2}

Step 1: Bereich: 0≤x≤10 \leq x \leq 1 und 0≤y≤1−x0 \leq y \leq 1 - x (Typ I)
Step 2: Aufstellen: ∫01∫01−xy dy dx\int_0^1 \int_0^{1-x} y\,dy\,dx
Step 3: Innen: ∫01−xy dy=(1−x)22\int_0^{1-x} y\,dy = \frac{(1-x)^2}{2}
Step 4: Außen: ∫01(1−x)22 dx=12⋅(1−x)3−3∣01=16\int_0^1 \frac{(1-x)^2}{2}\,dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{(1-x)^3}{-3}\Big|_0^1 = \frac{1}{6}
Answer: 16\dfrac{1}{6}

Frequently Asked Questions

Nutze Polarkoordinaten, wenn der Bereich oder Integrand Kreissymmetrie aufweist — Kreisscheiben, Kreisringe, Sektoren oder Funktionen von x²+y². Die Jacobi-Determinante r vereinfacht den Integranden oft, indem sie Faktoren kürzt.

Der Satz von Fubini besagt, dass für eine stetige Funktion über einem Rechteck (oder jedem Bereich, in dem das Integral absolut konvergent ist) das Doppelintegral gleich einem iterierten Integral ist und die Integrationsreihenfolge vertauscht werden kann, ohne das Ergebnis zu ändern.

Skizziere den Bereich D. Finde äquivalente Beschreibungen als Typ I und Typ II — das heißt, drücke denselben Bereich mit x durch Kurven von y aus, statt y durch Kurven von x. Schreibe das Integral mit den neuen Grenzen um.

Der Faktor r stammt aus der Jacobi-Determinante der Transformation von (x,y) zu (r,θ). Geometrisch hat ein dünner polarer 'Keil' die Fläche r·dr·dθ, nicht nur dr·dθ.

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