Parametrische vs. implizite Funktionen

Parametrische und implizite Formen sind zwei Wege, Kurven zu beschreiben, die nicht in die einfache Form "$y$ als Funktion von $x$" passen.

Parametrisch

Eine parametrische Form drückt sowohl $x$ als auch $y$ als Funktionen einer dritten Variablen $t$ aus (dem Parameter, oft die Zeit):

$x = f(t), \quad y = g(t)$

Beispiel: ein Kreis mit Radius 1: $x = \cos t$, $y = \sin t$ für $t \in [0, 2\pi]$.

Stärken: beschreibt Bewegung auf natürliche Weise (jedes $t$ ergibt eine Position), behandelt Schleifen und Selbstüberschneidungen mühelos.

Implizit

Eine implizite Form verwendet eine einzige Gleichung:

$F(x, y) = 0$

Derselbe Kreis: $x^2 + y^2 - 1 = 0$.

Stärken: eindeutige algebraische Gleichung, einfach zu prüfen, ob ein Punkt auf der Kurve liegt (einfach einsetzen und prüfen).

Wann welche verwenden

Situation	Beste Form
Bewegung / Bahnkurve	Parametrisch
Implizite Differentiation nötig	Implizit
Kurve mit Selbstüberschneidungen	Parametrisch
Algebraische / symbolische Umformung	Implizit
Plotten über $t$-Werte	Parametrisch

Durchgerechnetes Beispiel: Ableitung

Für den Kreis $x^2 + y^2 = 1$:

• Implizite Differentiation: $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$, also $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$.
• Parametrisch ($x = \cos t$, $y = \sin t$): $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{\cos t}{-\sin t} = -\frac{\cos t}{\sin t} = -\frac{x}{y}$. ✓

Beide liefern dieselbe Antwort; das Verfahren unterscheidet sich.

Umwandlung

Manchmal kann man zwischen den Formen umwandeln, indem man den Parameter eliminiert (parametrisch → implizit) oder parametrisiert (implizit → parametrisch). Nicht immer sauber möglich.