Diskret vs. stetig

Diskret vs. stetig ist eine der folgenreichsten Unterscheidungen in der Mathematik. Falsch einzuschätzen, welche du vorliegen hast, führt zu falschen Werkzeugen, falschen Verteilungen und falschen Schlussfolgerungen.

Diskret

Eine diskrete Größe kann nur getrennte Werte annehmen, meist ganze Zahlen oder eine endliche Menge.

Beispiele: Anzahl der Schüler in einer Klasse, Würfelergebnisse, Defekte pro Einheit, Klicks auf einer Webseite.

Mathematische Werkzeuge: Summation $\sum$, Wahrscheinlichkeitsfunktionen $P(X = k)$, Kombinatorik, Differenzengleichungen, Graphentheorie.

Stetig

Eine stetige Größe kann jeden Wert innerhalb eines Bereichs mit beliebiger Genauigkeit annehmen.

Beispiele: Größe, Gewicht, Zeit, Temperatur, Entfernung.

Mathematische Werkzeuge: Integration $\int$, Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen $f(x)$ (wobei $P(X = \text{exakter Wert}) = 0$), Differentialgleichungen, Analysis.

Die Entscheidung: welcher Rahmen?

Aspekt	Diskret	Stetig
Werte	Getrennt, abzählbar	Bereich, überabzählbar
Wahrscheinlichkeit eines exakten Werts	$P(X = k) > 0$	$P(X = a) = 0$ — Intervalle nötig
"Summen"-Werkzeug	$\sum$	$\int$
Gleichungstyp	Differenzengleichung	Differentialgleichung
Häufige Verteilungen	Binomial, Poisson, geometrisch	Normal, exponentiell, gleichmäßig

Häufige Fehler

• Zählungen als stetig behandeln. "Der durchschnittliche Haushalt hat 2,3 Kinder" — als Zusammenfassung in Ordnung, aber die Wahrscheinlichkeit von "genau 2,3 Kindern" ist sinnlos.
• Messungen als diskret behandeln. Die Größe "ist 170 cm" rundet eine stetige Größe; statistische Tests, die Diskretheit voraussetzen, verlieren Information.
• In der Wahrscheinlichkeit vermischen: Summiere keine stetige Dichtefunktion; integriere sie. Integriere keine diskrete Wahrscheinlichkeitsfunktion; summiere sie.

Brücken dazwischen

Der zentrale Grenzwertsatz lässt diskrete Summen vieler kleiner Variablen einer stetigen Normalverteilung nahekommen. Die Stetigkeitskorrektur übersetzt zwischen binomialen (diskreten) und normalen (stetigen) Wahrscheinlichkeiten. Riemann-Summen sind die diskrete Brücke zu Integralen.