حاسبة قانون نقطة المنتصف

قانون نقطة المنتصف يجد النقطة الواقعة تمامًا في منتصف المسافة بين نقطتين معطاتين. إنه ببساطة متوسط الإحداثيات:

الصورة ثنائية الأبعاد — للنقطتين $(x_1, y_1)$ و $(x_2, y_2)$:

$M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$

الصورة ثلاثية الأبعاد — للنقطتين $(x_1, y_1, z_1)$ و $(x_2, y_2, z_2)$:

$M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2}\right)$

لماذا يعمل المتوسط: تقسم نقطة المنتصف القطعة بنسبة $1:1$، وإحداثيات أي نقطة على القطعة هي متوسطات موزونة لنقطتي النهاية. بأوزان متساوية ($1/2$ لكل منهما)، تحصل على المتوسط الحسابي البسيط.

يظهر قانون نقطة المنتصف باستمرار في الهندسة الإحداثية: إيجاد مركز دائرة من قطرها، ومركز ثقل مثلث، ومتوازيات الأضلاع، والمنصّفات العمودية، وأي مسألة تتضمن 'منتصف المسافة بين'.

خطوة بخطوة

1. حدّد النقطتين $(x_1, y_1)$ و $(x_2, y_2)$.
2. توسّط إحداثيات x: $\frac{x_1 + x_2}{2}$.
3. توسّط إحداثيات y: $\frac{y_1 + y_2}{2}$.
4. ادمج في نقطة المنتصف $(M_x, M_y)$.

لا طرح، لا مربعات، لا جذور — أبسط بكثير من قانون المسافة.

المسألة العكسية: إيجاد نقطة نهاية من نقطة المنتصف

إذا كانت $M = (M_x, M_y)$ هي نقطة منتصف $(x_1, y_1)$ و $(x_2, y_2)$، يمكنك الحل لأي نقطة نهاية:

$x_2 = 2 M_x - x_1, \quad y_2 = 2 M_y - y_1$

ضاعف نقطة المنتصف، اطرح نقطة النهاية المعروفة.

التعميم: قانون التقسيم

بالنسبة لنقطة تقسم قطعة بنسبة $m : n$ (وليس فقط $1:1$):

$P = \left(\frac{m x_2 + n x_1}{m + n}, \frac{m y_2 + n y_1}{m + n}\right)$

قانون نقطة المنتصف هو الحالة الخاصة $m = n = 1$.

التطبيقات الهندسية

• مركز دائرة من نقطتي نهاية القطر: ببساطة نقطة المنتصف.
• مركز ثقل مثلث: متوسط إحداثيات الرؤوس الثلاثة جميعها (يعمم نقطة المنتصف إلى 3 نقاط).
• المنصّف العمودي: خط يمر بنقطة المنتصف عموديًا على القطعة الأصلية.
• أقطار متوازي الأضلاع: تتطابق نقطتا منتصف القطرين — مفيد لإثبات أن رباعيًا هو متوازي أضلاع.

• الطرح بدلًا من الجمع: نقطة المنتصف تتوسط — $\frac{x_1 + x_2}{2}$، وليس $\frac{x_2 - x_1}{2}$. الطرح يخص قانون المسافة.
• نسيان قسمة كل إحداثي: المقسوم عليه 2 ينطبق بشكل منفصل على مجموع x ومجموع y. إنها ليست قسمة واحدة في النهاية.
• أخطاء الإشارة مع الإحداثيات السالبة: $\frac{-3 + 7}{2} = 2$، وليس $-2$ أو $5$. اجمع بعناية.
• خلط صيغ نقطة المنتصف والميل: نقطة المنتصف تتوسط، الميل يطرح. تبدوان متشابهتين لكنهما تجيبان عن أسئلة مختلفة.
• نسيان التحديث للأبعاد الثلاثية: إذا كانت مسألتك ثلاثية الأبعاد، ضمّن متوسط z. إذا كانت ثنائية الأبعاد، لا تضف z وهميًا.