حاسبة قانون المسافة

قانون المسافة يحسب المسافة المستقيمة بين نقطتين في فضاء الإحداثيات. وهو نتيجة مباشرة لـ نظرية فيثاغورس المطبّقة على المثلث القائم المتكوّن من الفصل الأفقي والرأسي بين النقطتين.

الصورة ثنائية الأبعاد — للنقطتين $P_1 = (x_1, y_1)$ و $P_2 = (x_2, y_2)$:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

الصورة ثلاثية الأبعاد — للنقطتين $(x_1, y_1, z_1)$ و $(x_2, y_2, z_2)$:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

الصورة في $n$ بُعد (المسافة الإقليدية):

$d = \sqrt{\sum_{i=1}^n (b_i - a_i)^2}$

هذا يعمم بشكل طبيعي إلى أي عدد من الأبعاد، ولهذا فهو مفهوم 'المسافة' الأساسي في الفيزياء والإحصاء وتعلم الآلة.

خطوة بخطوة

1. سمِّ النقطتين $(x_1, y_1)$ و $(x_2, y_2)$. أي تعيين يعمل — الصيغة متماثلة.
2. احسب الفروق: $\Delta x = x_2 - x_1$، $\Delta y = y_2 - y_1$.
3. ربّعها: $(\Delta x)^2$ و $(\Delta y)^2$.
4. اجمع: $(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2$.
5. خذ الجذر التربيعي: $d = \sqrt{\text{sum}}$.
6. بسّط الجذر إن أمكن (مثلًا، $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$).

الاشتقاق الهندسي

ارسم قطعة أفقية من $(x_1, y_1)$ إلى $(x_2, y_1)$ — طولها $|x_2 - x_1|$.
ارسم قطعة رأسية من $(x_2, y_1)$ إلى $(x_2, y_2)$ — طولها $|y_2 - y_1|$.
القطعة الأصلية هي وتر مثلث قائم بهذين الضلعين، إذًا بنظرية فيثاغورس:

$d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$

أخذ الجذر التربيعي يعطي قانون المسافة. القيم المطلقة غير ضرورية لأن التربيع يزيل الإشارة.

الصيغ المرتبطة

• نقطة المنتصف: $M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$ — متوسط الإحداثيات.
• الميل: $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ — يستخدم نفس الفروق كقانون المسافة.
• المسافة من نقطة إلى الأصل: $d = \sqrt{x^2 + y^2}$ (حالة خاصة بـ $(x_1, y_1) = (0, 0)$).

مسافة مانهاتن / سيارة الأجرة (للمقارنة)

لاحظ أن الصيغة أعلاه هي المسافة الإقليدية. مسافة مانهاتن $|x_2 - x_1| + |y_2 - y_1|$ تقيس التنقل على شبكة (لا أقطار). إنهما مقياسان مختلفان — تأكد من معرفة أيهما تريده مسألتك.

• نسيان التربيع: $d \ne (x_2 - x_1) + (y_2 - y_1)$. المربعات (والجذر التربيعي) ضرورية.
• أخطاء الإشارة: $(x_2 - x_1)^2 = (x_1 - x_2)^2$، إذًا ترتيب الطرح لا يهم — لكن فقط بسبب التربيع. لا تسقط التربيع لأنك 'ترى' الفرق.
• نسيان أخذ الجذر التربيعي: $(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$ هو $d^2$، وليس $d$. كثير من الطلاب يتوقفون خطوة مبكرًا.
• عدم تبسيط الجذر: $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$. تركه كـ $\sqrt{8}$ صحيح تقنيًا لكنه عادةً يُخصم في الامتحانات.
• خلط ثنائي الأبعاد وثلاثي الأبعاد: إذا كانت مسألتك ثلاثية الأبعاد، ضمّن الحد $(z_2 - z_1)^2$. إذا كانت ثنائية الأبعاد، لا تختلق حد $z$.