حاسبة القسمة التركيبية

القسمة التركيبية هي اختصار لقسمة كثير حدود $p(x)$ على عامل خطي $x - k$. إنها أسرع من القسمة المطولة وتنتج نفس الخارج والباقي، فقط بكتابة أقل.

بالنظر إلى $p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0$ مقسومًا على $x - k$، تنتج القسمة التركيبية:

$p(x) = (x - k) q(x) + r$

حيث $q(x)$ هو الخارج (الدرجة $n - 1$) و $r$ هو الباقي الثابت.

الاستخدامات الأساسية:

1. القسمة السريعة لكثيرات الحدود عندما يكون المقسوم عليه خطيًا $x - k$.
2. حساب $p(k)$ — بنظرية الباقي، $p(k) = r$، إذًا الباقي هو بالضبط قيمة الدالة.
3. تحليل كثيرات الحدود — إذا كان $r = 0$، فإن $(x - k)$ عامل و $q(x)$ يخبرك بالعامل المرافق.
4. إيجاد الجذور النسبية مدمجة مع نظرية الجذور النسبية.

الإعداد

لقسمة $p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0$ على $x - k$:

1. اكتب صفر المقسوم عليه $k$ على اليسار.
2. اسرد معاملات $p(x)$ على اليمين، بما في ذلك أصفار لأي حدود مفقودة.

الخوارزمية

1. أنزل المعامل الأول ($a_n$) دون تغيير.
2. اضرب في $k$ واكتب النتيجة تحت المعامل التالي ($a_{n-1}$).
3. اجمع العمود. اكتب المجموع في الصف السفلي.
4. كرّر: اضرب ذلك المجموع في $k$، اكتب تحت المعامل التالي، اجمع.
5. استمر حتى تنتهي من جميع المعاملات.

قراءة النتيجة

الصف السفلي يحتوي على:

• أول $n$ مدخلات: معاملات الخارج $q(x)$ (بترتيب تنازلي للدرجة).
• المدخل الأخير: الباقي $r$.

مثال: $(x^3 - 4x + 5) \div (x - 2)$

معاملات $x^3 + 0x^2 - 4x + 5$: $[1, 0, -4, 5]$. صفر المقسوم عليه: $k = 2$.

 2 |  1   0  -4   5
   |      2   4   0
   |________________
      1   2   0   5

الخارج: $x^2 + 2x + 0 = x^2 + 2x$. الباقي: $5$.

إذًا $x^3 - 4x + 5 = (x - 2)(x^2 + 2x) + 5$.

الصلة بنظرية الباقي

الباقي $r$ في $p(x) = (x - k)q(x) + r$ يساوي $p(k)$. بوضع $x = k$:

$p(k) = (k - k) q(k) + r = r$

إذًا القسمة التركيبية طريقة سريعة لحساب $p(k)$ دون التعويض.

نظرية العامل

نتيجة مترتبة: $(x - k)$ عامل لـ $p(x)$ إذا وفقط إذا $p(k) = 0$ إذا وفقط إذا كان باقي القسمة التركيبية هو $0$.

• إغفال أصفار الإحلال: بالنسبة لـ $p(x) = x^3 - 4x + 5$، يجب أن تضمّن $0$ للحد المفقود $x^2$. وإلا تختل محاذاة الأعمدة.
• خطأ الإشارة في $k$: لقسمة على $x - 2$، استخدم $k = 2$ (صفر المقسوم عليه). لقسمة على $x + 3$، استخدم $k = -3$.
• لا يمكن استخدامها مباشرة لمقسوم عليه $ax - k$: القسمة التركيبية كما تُدرّس تعمل لـ $x - k$ (المعامل الرئيسي 1). بالنسبة لـ $ax - k$، أخرج $a$ كعامل مشترك أولًا أو استخدم القسمة المطولة لكثيرات الحدود.
• نسيان إنزال المعامل الأول: الخطوة الأولى دائمًا 'أنزل $a_n$' — لا تضرب شيئًا بعد.
• سوء قراءة الخارج: أول $n$ مدخلات في الصف السفلي هي معاملات، والدرجة تنخفض بمقدار 1. كثير حدود من الدرجة 4 مقسوم على $x - k$ يعطي خارجًا من الدرجة 3.