حاسبة صيغة الميل والمقطع

صيغة الميل والمقطع لمعادلة خطية بمتغيرين هي:

$y = mx + b$

حيث:

• $m$ هو الميل — مدى ارتفاع أو انخفاض الخط بحدة. الميل $= \dfrac{\text{rise}}{\text{run}}$.
• $b$ هو المقطع الصادي — قيمة $y$ حيث يقطع الخط المحور الصادي (النقطة $(0, b)$).

لماذا هذه الصيغة مميزة: تكشف معلومتين هندسيتين بنظرة واحدة — الميل والمقطع الصادي — دون أي حساب. على النقيض من ذلك، الصيغة القياسية $Ax + By = C$ تخفي كليهما.

صيغة الميل والمقطع هي الصيغة العملية المفضلة لرسم الخطوط، ومقارنة علاقات التوازي/التعامد، وكتابة المعادلات من وصف.

الحالة 1: من معادلة بالصيغة القياسية

بالنظر إلى $Ax + By = C$، حل بالنسبة لـ $y$:

$By = -Ax + C \quad \Rightarrow \quad y = -\frac{A}{B}x + \frac{C}{B}$

إذًا $m = -A/B$ و $b = C/B$.

الحالة 2: من نقطتين

بالنظر إلى $(x_1, y_1)$ و $(x_2, y_2)$:

$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

ثم استخدم إحدى النقطتين لحل $b$:

$b = y_1 - m x_1$

الحالة 3: من الميل ونقطة واحدة

بالنظر إلى الميل $m$ ونقطة $(x_0, y_0)$:

$b = y_0 - m x_0$

الحالة 4: من رسم بياني

اقرأ المقطع الصادي مباشرة من حيث يقطع الخط المحور الصادي. اختر نقطة شبكية أخرى واحسب $\text{rise} / \text{run}$ لإيجاد $m$.

الحالات الخاصة

• الخط الأفقي $y = c$: الميل $m = 0$، المقطع الصادي $b = c$.
• الخط الرأسي $x = c$: الميل غير معرّف. لا يمكن كتابته بالصورة $y = mx + b$.

الخطوط المتوازية والمتعامدة

الخطان $y = m_1 x + b_1$ و $y = m_2 x + b_2$ يكونان:

• متوازيين إذا وفقط إذا $m_1 = m_2$ (نفس الميل، مقاطع مختلفة)
• متعامدين إذا وفقط إذا $m_1 m_2 = -1$ (ميلان مقلوبان متعاكسان في الإشارة)

• أخطاء إشارة الميل: $m = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)$. اطرح قيم $y$ بنفس ترتيب قيم $x$. عكس واحدة دون الأخرى يقلب الإشارة.
• القسمة على صفر: إذا كان $x_1 = x_2$، فالخط رأسي — الميل غير معرّف، ولا توجد صيغة ميل ومقطع.
• الخلط بين المقطع الصادي والمقطع السيني: $b$ هو المقطع الصادي. يُوجد المقطع السيني بوضع $y = 0$ والحل بالنسبة لـ $x$.
• نسيان القسمة على $B$: عند تحويل $Ax + By = C$ إلى صيغة الميل والمقطع، يجب أن تقسم كل حد على $B$، وليس حد $y$ فقط.
• ميل تعامد خاطئ: التعامد يعني $m_1 m_2 = -1$، إذًا $m_2 = -1/m_1$. مجرد قلب الإشارة أو مجرد المقلوب لا يكفي.