حاسبة إكمال المربع

إكمال المربع هو التقنية الجبرية لإعادة كتابة المعادلة التربيعية $ax^2 + bx + c$ على الصورة:

$a(x - h)^2 + k$

حيث $(h, k)$ هو رأس القطع المكافئ.

لماذا هذا مهم:

• يكشف رأس القطع المكافئ (نقطة الصغرى/العظمى) بنظرة واحدة.
• يتيح لك حل أي معادلة تربيعية بدون القانون التربيعي.
• هو التقنية الأساسية التي تشتق القانون التربيعي.
• يُستخدم لحساب $\int \frac{1}{x^2 + bx + c}\,dx$ في التفاضل والتكامل (يُختزل إلى arctan).
• ضروري لفهم تكاملات غاوس والعديد من مواضيع الفيزياء.

المتطابقة الأساسية التي تجعله يعمل:

$x^2 + bx + \left(\frac{b}{2}\right)^2 = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2$

الحالة 1: المعامل الرئيسي يساوي 1

بالنسبة لـ $x^2 + bx + c$:

1. خذ نصف $b$ وربّعه: $(b/2)^2$.
2. أضف واطرح هذا المقدار: $x^2 + bx + (b/2)^2 - (b/2)^2 + c$.
3. اجمع المربع الكامل: $(x + b/2)^2 + c - (b/2)^2$.

مثال: $x^2 + 6x + 5$

• نصف 6 هو 3. مربعه: 9.
• $x^2 + 6x + 9 - 9 + 5 = (x + 3)^2 - 4$

صيغة الرأس: $(x + 3)^2 - 4$، الرأس عند $(-3, -4)$.

الحالة 2: المعامل الرئيسي لا يساوي 1

بالنسبة لـ $ax^2 + bx + c$، $a \neq 1$:

1. أخرج $a$ كعامل مشترك من الحدين الأولين: $a\left(x^2 + \frac{b}{a}x\right) + c$.
2. أكمل المربع داخل الأقواس: نصف $b/a$ هو $b/(2a)$، ومربعه $b^2/(4a^2)$.
3. أضف واطرح بالداخل: $a\left(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2}\right) - a \cdot \frac{b^2}{4a^2} + c$.
4. بسّط: $a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a}$.

لاحظ أنه عند 'إلغاء' الحد المُضاف، فإنك تضرب في $a$ لأن الداخل مضروب في $a$.

حل معادلة تربيعية

بالنسبة لـ $ax^2 + bx + c = 0$:

1. أكمل المربع للحصول على $a(x - h)^2 + k = 0$.
2. اعزل الحد المربع: $(x - h)^2 = -k/a$.
3. خذ الجذر التربيعي: $x - h = \pm\sqrt{-k/a}$.
4. حل: $x = h \pm \sqrt{-k/a}$.

هذا في الأساس ما يفعله القانون التربيعي في تعبير مدمج واحد.

• نسيان الموازنة: عندما تضيف $(b/2)^2$، يجب أن تطرحها أيضًا. وإلا فقد غيّرت التعبير.
• معالجة خاطئة للمعامل: إذا كان $a \neq 1$، يجب إخراج $a$ كعامل مشترك من الحدين الأولين قبل إكمال المربع، ثم ضرب تصحيحك في $a$ عند التوزيع مرة أخرى.
• أخطاء الإشارة مع $\pm$: بعد أخذ الجذر التربيعي، يجب الاحتفاظ بكلا الفرعين. إسقاط $\pm$ يفقد حلًا.
• نصف $b$ مقابل $b/2a$: عندما يكون المعامل الرئيسي 1، خذ نصف $b$. عندما لا يكون كذلك، أخرج العامل أولًا — ثم خذ نصف المعامل الجديد.
• نسيان تبسيط الثابت: بعد إكمال المربع، اجمع الثوابت المتبقية في $k$ واحد.