الدوال الوسيطية مقابل الضمنية

الصيغتان الوسيطية والضمنية طريقتان لوصف المنحنيات التي لا تتناسب مع الصيغة البسيطة "$y$ كدالة في $x$".

وسيطية

تعبّر الصيغة الوسيطية عن كلٍّ من $x$ و$y$ كدالتين لمتغير ثالث $t$ (الوسيط، وغالبًا الزمن):

$x = f(t), \quad y = g(t)$

مثال: دائرة نصف قطرها 1: $x = \cos t$، $y = \sin t$ من أجل $t \in [0, 2\pi]$.

نقاط القوة: تصف الحركة بشكل طبيعي (كل $t$ يعطي موضعًا)، وتتعامل مع الحلقات والتقاطعات الذاتية ببساطة.

ضمنية

تستخدم الصيغة الضمنية معادلة واحدة:

$F(x, y) = 0$

نفس الدائرة: $x^2 + y^2 - 1 = 0$.

نقاط القوة: معادلة جبرية وحيدة، ومن السهل اختبار ما إذا كانت نقطة تقع على المنحنى (فقط عوّض وتحقّق).

متى تستخدم كلًّا منهما

الحالة	أفضل صيغة
الحركة / المسار	وسيطية
الحاجة إلى الاشتقاق الضمني	ضمنية
منحنى به تقاطعات ذاتية	وسيطية
المعالجة الجبرية / الرمزية	ضمنية
الرسم عبر قيم $t$	وسيطية

مثال محلول: المشتقة

للدائرة $x^2 + y^2 = 1$:

• الاشتقاق الضمني: $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$، إذن $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$.
• وسيطيًا ($x = \cos t$، $y = \sin t$): $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{\cos t}{-\sin t} = -\frac{\cos t}{\sin t} = -\frac{x}{y}$. ✓

كلاهما يعطي الإجابة نفسها؛ لكن الإجراء يختلف.

التحويل

يمكن أحيانًا التحويل بين الصيغتين بحذف الوسيط (وسيطية → ضمنية) أو بإدخال وسيط (ضمنية → وسيطية). ليس ممكنًا دائمًا بشكل نظيف.