المنشورات والصناديق

مكعب

$V = s^3$

مكعب الضلع. مكعب طول ضلعه $s$ يملأ بـ $s^3$ مكعب وحدة — النسخة الثلاثية للحجة المربعية.

متوازي المستطيلات

$V = l \cdot w \cdot h$

الطول × العرض × الارتفاع. مساحة القاعدة $l w$ ، تكديس $h$ طبقات يعطي $lwh$ .

منشور عام

$V = A_{\text{base}} \cdot h$

مساحة القاعدة × الارتفاع. وفقًا لمبدأ كافالييري، أي منشور بنفس المقطع والارتفاع له الحجم نفسه — مثلث، سداسي، مائل، الجميع يستخدمون هذه الصيغة.

الأهرام والمخاريط والمخاريط الناقصة

هرم (عام)

$V = \tfrac{1}{3} A_{\text{base}} \cdot h$

ثلث المنشور المقابل. ينشأ «الثلث» من تكامل $A_{\text{base}}\bigl(\tfrac{z}{h}\bigr)^2$ من 0 إلى $h$ — المقطع يتقلص خطيًا.

مخروط

$V = \tfrac{1}{3} \pi r^2 h$

نفس قاعدة "الثلث" كالهرم بقاعدة دائرية $\pi r^2$ . ثلاثة مخاريط متماثلة تملأ أسطوانة واحدة.

مخروط ناقص

$V = \tfrac{\pi h}{3}\bigl(R^2 + R r + r^2\bigr)$

دائرتان متوازيتان نصفا قطريهما $R$ (الأسفل) و $r$ (الأعلى)، الارتفاع $h$ . تنتج بطرح المخروط الصغير من الكبير؛ الحد $Rr$ يأتي من فرق المكعبات.

الأسطوانات

أسطوانة

$V = \pi r^2 h$

حالة خاصة من المنشور العام: قاعدة دائرية $\pi r^2$ مكدسة حتى ارتفاع $h$ . الأسطوانات المائلة تستخدم نفس الصيغة بفضل كافالييري.

أسطوانة مجوفة (أنبوب)

$V = \pi (R^2 - r^2) h$

حجم الأسطوانة الخارجية ناقص حجم الأسطوانة الداخلية — حيلة الطرح نفسها كالحلقة لكن في الفضاء.

الكرات ومجسمات القطع الناقص

كرة

$V = \tfrac{4}{3}\pi r^3$

الشهير $\tfrac{4}{3}\pi r^3$ . نتيجة أرخميدس: حجم الكرة يساوي تمامًا $\tfrac{2}{3}$ من أصغر أسطوانة تحويه.

نصف كرة

$V = \tfrac{2}{3}\pi r^3$

نصف الكرة — بالضبط نصف $\tfrac{4}{3}\pi r^3$ . مفيد للقباب والأوعية ومسائل التكامل.

مجسم القطع الناقص

$V = \tfrac{4}{3}\pi a b c$

ثلاثة أنصاف محاور $a, b, c$ . عند $a = b = c = r$ نعود إلى الكرة $\tfrac{4}{3}\pi r^3$ : الكرة حالة خاصة من مجسم القطع الناقص.

الطارة (الدونات)

$V = 2\pi^2 R r^2$

نصف القطر الكبير $R$ (المركز إلى مركز الأنبوب)، نصف القطر الصغير $r$ (الأنبوب). نظرية بابوس: مساحة $\pi r^2$ تكتسح دائرة محيطها $2\pi R$ .

الحجم Formulas