الأشكال الرباعية — صيغ المساحة

مربع

$A = s^2$

مربع الضلع. المربع هو مستطيل بأضلاع متساوية، فتؤول $A = l\cdot w$ إلى $s^2$ .

مستطيل

$A = l \cdot w$

الطول × العرض. حجة التبليط بمربعات الوحدة: مستطيل بأضلاع صحيحة $l\times w$ يحوي بالضبط $lw$ مربع وحدة.

متوازي الأضلاع

$A = b \cdot h$

القاعدة × الارتفاع العمودي — وليس الضلع المائل. اقطع المثلث من أحد الطرفين وانقله إلى الآخر فيتحول متوازي الأضلاع إلى مستطيل.

معين

$A = \tfrac{1}{2} d_1 d_2$

نصف حاصل ضرب القطرين — يتعامد القطران ويتنصفان، فيقسمان المعين إلى أربعة مثلثات قائمة متطابقة.

شبه المنحرف

$A = \tfrac{1}{2}(a + b)\,h$

متوسط الضلعين المتوازيين $a,b$ مضروبًا في الارتفاع $h$ . ألصق نسختين متعاكستين فتحصل على متوازي أضلاع قاعدته $a+b$ .

الطائرة الورقية

$A = \tfrac{1}{2} d_1 d_2$

الصيغة نفسها لحاصل ضرب القطرين كالمعين — الطائرة الورقية شكل أعم لكن قطراها لا يزالان متعامدين.

المثلثات — حسب البيانات المتوفرة

القاعدة والارتفاع

$A = \tfrac{1}{2} b h$

نصف القاعدة × الارتفاع — لأي مثلث. نسختان تكوّنان متوازي أضلاع بقاعدة $b$ وارتفاع $h$ .

صيغة هيرون (الأضلاع الثلاثة)

$A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)},\ s = \tfrac{a+b+c}{2}$

يستخدم عند معرفة الأضلاع الثلاثة فقط دون ارتفاع. $s$ هو نصف المحيط.

ضلعان والزاوية المحصورة (SAS)

$A = \tfrac{1}{2} a b \sin C$

أنزل الارتفاع من الرأس الثالث؛ طوله $a\sin C$ ليعود الأمر إلى الصيغة المعتادة $\tfrac{1}{2}\cdot\text{قاعدة}\cdot\text{ارتفاع}$ .

مثلث متساوي الأضلاع

$A = \tfrac{\sqrt{3}}{4} a^2$

حالة خاصة من SAS عند $a=b$ و $C = 60^{\circ}$ ؛ $\sin 60^{\circ} = \tfrac{\sqrt{3}}{2}$ تعطي الثابت $\tfrac{\sqrt{3}}{4}$ .

الدوائر والأشكال المنحنية

دائرة

$A = \pi r^2$

$\pi r^2$ . ينتج من تكامل المحيط $2\pi r$ مع نمو $r$ من 0 — برهان «طبقات البصلة».

القطاع الدائري

$A = \tfrac{1}{2} r^2 \theta$

الزاوية $\theta$ بـ الراديان. هي الكسر $\theta / (2\pi)$ من مساحة الدائرة الكاملة $\pi r^2$ .

الحلقة الدائرية

$A = \pi (R^2 - r^2)$

مساحة الدائرة الخارجية ناقص مساحة الدائرة الداخلية — الفجوة الوسطى تطرح ولا تقاس.

القطع الناقص

$A = \pi a b$

نصف المحور الأكبر $a$ × نصف المحور الأصغر $b$ × $\pi$ . عند $a = b = r$ نعود إلى $\pi r^2$ : الدائرة قطع ناقص بمحورين متساويين.

المضلعات المنتظمة والإحداثيات

مضلع منتظم بـ n أضلاع

$A = \tfrac{1}{2} P a$

$P$ هو المحيط و $a$ هو نصف قطر الانطباق (المسافة من المركز إلى الضلع). قسّم المضلع إلى $n$ مثلثات متطابقة فتنتج الصيغة.

سداسي منتظم

$A = \tfrac{3\sqrt{3}}{2} a^2$

السداسي المنتظم يساوي تمامًا ستة مثلثات متساوية الأضلاع طول ضلعها $a$ : $6 \cdot \tfrac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \tfrac{3\sqrt{3}}{2} a^2$ .

الإحداثيات (صيغة رباط الحذاء)

$A = \tfrac{1}{2}\left|\sum_{i=1}^{n} (x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i)\right|$

عوّض إحداثيات الرؤوس $(x_i, y_i)$ بالترتيب مع إغلاق الحلقة ( $x_{n+1}=x_1$ ). تصلح لأي مضلع بسيط دون الحاجة إلى تجزئة بمثلثات.

المساحة Formulas