ثلاث طرائق لحل أنظمة المعادلات

حل نظام معادلات يعني إيجاد قيم تحقّق جميع المعادلات في آنٍ واحد. لكل من التقنيات القياسية الثلاث مجال تتفوّق فيه — ومعرفة أيّها تختار توفّر الوقت في كل مجموعة واجبات.

الطريقة 1: التعويض

الأفضل عندما يكون أحد المتغيرين معزولًا بالفعل (أو سهل العزل).

الإجراء:

1. حلّ إحدى المعادلتين لأحد المتغيرين.
2. عوّض ذلك التعبير في المعادلة الأخرى.
3. حلّ المعادلة الناتجة ذات المتغير الواحد.
4. عوّض رجوعًا لإيجاد المتغير الثاني.

مثال: $\begin{cases} y = 2x + 1 \\ 3x + y = 11 \end{cases}$

• $y$ معزول بالفعل. عوّض في الثانية: $3x + (2x + 1) = 11$، فيكون $5x = 10$، و $x = 2$.
• عوّض رجوعًا: $y = 2(2) + 1 = 5$.
• الحل: $(2, 5)$.

الطريقة 2: الحذف (التركيب الخطي)

الأفضل عندما تتوافق المعاملات لإلغاء متغير بالجمع/الطرح.

الإجراء:

1. اضرب إحدى المعادلتين أو كلتيهما في ثوابت حتى يصبح معاملا أحد المتغيرين متعاكسين (مثل $+3y$ و $-3y$).
2. اجمع المعادلتين لـحذف ذلك المتغير.
3. حلّ المعادلة المتبقية ذات المتغير الواحد.
4. عوّض رجوعًا.

مثال: $\begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ 4x - 3y = 6 \end{cases}$

• $3y$ و $-3y$ متعاكسان بالفعل. اجمع: $6x = 18$، و $x = 3$.
• عوّض رجوعًا: $2(3) + 3y = 12$، فيكون $3y = 6$، و $y = 2$.
• الحل: $(3, 2)$.

الطريقة 3: طرائق المصفوفات

للأنظمة الأكبر (3 متغيرات فأكثر) أو الحل بمساعدة الحاسوب:

• قاعدة كرامر: $x_i = \det(A_i) / \det(A)$ حيث $A_i$ هي $A$ مع استبدال العمود $i$ بالثوابت. تعمل لأي حجم، لكن حساب $\det$ ينمو بسرعة.
• حذف غاوس: اختزل صفوف المصفوفة الموسَّعة $[A | \vec{b}]$ إلى الصورة الدرجية الصفية، ثم عوّض رجوعًا. الطريقة المعيارية للأنظمة الكبيرة.
• المصفوفة العكسية: $\vec{x} = A^{-1} \vec{b}$. تعمل فقط إذا كانت $A$ مربعة وقابلة للعكس (محدِّد غير صفري).

للأنظمة 2×2 يدويًّا، يفوز التعويض أو الحذف دائمًا تقريبًا. أما طرائق المصفوفات فتتألّق مع 3 متغيرات فأكثر.

ثلاثة احتمالات لمجموعة الحل

كل نظام خطي يقع في واحد فقط مما يلي:

• حل وحيد: تتقاطع المستقيمات (أو المستويات) في نقطة واحدة.
• لا حل: المعادلات متناقضة (مستقيمان متوازيان لا يلتقيان) — النظام غير متّسق.
• عدد لا نهائي من الحلول: المعادلات تصف المستقيم/المستوى نفسه — النظام تابع.

الإشارة الجبرية:

• "$x = 5$" → وحيد.
• "$0 = 7$" → تناقض → لا حل.
• "$0 = 0$" → حشو منطقي → عدد لا نهائي من الحلول.

أخطاء شائعة

• أخطاء الإشارة عند فك الأقواس أثناء التعويض. ضع الأقواس بعناية.
• نسيان ضرب الطرفين أثناء قياس معاملات الحذف.
• التوقّف بعد إيجاد $x$. كلا المتغيرين مهم؛ عوّض رجوعًا.
• تجاهل عدم الاتّساق. إذا حصلت على $0 = 7$، فهذا هو الجواب ("لا حل")، وليس خطأ حسابيًّا.

جرّبها بنفسك

أدخِل أي نظام في حلّال أنظمة المعادلات المجاني لدينا — يختار الذكاء الاصطناعي التعويض/الحذف تلقائيًّا ويعرض كل خطوة.

ذات صلة:

• حاسبة المعادلات الخطية
• مثال محلول: 2x+y=7 و x-y=2
• مثال محلول: x+y=10 و x-y=4