تحليل الكسور الجزئية: سير العمل الكامل

تحليل الكسور الجزئية هو المهارة الجبرية التي تتيح لك تكامل أي دالة كسرية على الكوكب. فبدلاً من مصارعة كسرٍ واحد قبيح، تقسّمه إلى أجزاء يسهل تكاملها حدّاً بحدّ. يمرّ بك هذا الدليل عبر كل حالة ستصادفها.

الإعداد

الدالة الكسرية هي $\frac{P(x)}{Q(x)}$ حيث $P, Q$ كثيرات حدود. لا يعمل تحليل الكسور الجزئية إلا عندما تكون درجة $P$ < درجة $Q$. وإن لم يكن كذلك، فأجرِ القسمة المطوّلة لكثيرات الحدود أولاً لفصل الجزء الكثير الحدود.

بعد القسمة، حلّل $Q(x)$ تحليلاً كاملاً على الأعداد الحقيقية. يقع كل عامل في إحدى أربع فئات.

الحالات الأربع

الحالة 1: عوامل خطية متمايزة

إذا كان $Q(x) = (x - a)(x - b)$، فاكتب:

$\frac{P(x)}{(x-a)(x-b)} = \frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}$

مثال. حلّل $\frac{5x - 1}{(x - 1)(x + 2)}$.

اضرب الطرفين: $5x - 1 = A(x + 2) + B(x - 1)$.

عوّض $x = 1$: $4 = 3A \Rightarrow A = 4/3$.
عوّض $x = -2$: $-11 = -3B \Rightarrow B = 11/3$.

إذن $\frac{5x-1}{(x-1)(x+2)} = \frac{4/3}{x-1} + \frac{11/3}{x+2}$.

الحالة 2: عامل خطي مكرّر

من أجل $(x - a)^k$، تحتاج إلى حدّ واحد لكل قوة حتى $k$:

$\frac{A_1}{x-a} + \frac{A_2}{(x-a)^2} + \dots + \frac{A_k}{(x-a)^k}$

الحالة 3: عامل تربيعي غير قابل للتحليل

من أجل كل $x^2 + bx + c$ غير قابل للتحليل، استخدم بسطاً بمجهولين:

$\frac{Bx + C}{x^2 + bx + c}$

الحالة 4: تربيعي غير قابل للتحليل مكرّر

نفس فكرة الحالة 2، لكن كل قوة تحصل على صيغة $Bx + C$.

تطبيق التكامل

بمجرّد التحليل، كامِل حدّاً بحدّ:

• $\int \frac{1}{x - a} dx = \ln|x - a| + C$
• $\int \frac{1}{(x - a)^k} dx = \frac{-1}{(k-1)(x-a)^{k-1}} + C$ من أجل $k > 1$
• $\int \frac{Bx + C}{x^2 + bx + c} dx$ ينقسم إلى جزء $\ln$ وجزء $\arctan$.

أخطاء شائعة

• نسيان إجراء القسمة المطوّلة أولاً عندما تكون درجة $P$ ≥ درجة $Q$.
• تخطّي الحدود المكرّرة — يتطلّب $(x - 1)^3$ ثلاثة كسور منفصلة.
• محاولة تحليل التربيعيات غير القابلة للتحليل — تحقّق من المميّز قبل فرض جذور حقيقية.

جرّب مع حلّال التكامل بالذكاء الاصطناعي

يقوم حلّال التكامل تلقائياً بتحليل الكسور الجزئية عند الحاجة ويعرض كل خطوة.

مراجع ذات صلة:

• حاسبة التحليل — لتفكيك $Q(x)$
• حاسبة كثيرات الحدود — لإعداد القسمة المطوّلة
• حاسبة النهايات — تُستخدم في بعض حيل التحقّق من التحليل