شرح قواعد الأسس: كل قانون مع أمثلة محلولة

تضغط الأسس عملية الضرب المتكررة في ترميز أنيق واحد. بمجرد أن تستوعب القواعد السبع أدناه، يصبح تبسيط تعابير مثل $\frac{x^5 y^{-2}}{x^{-3} y^4}$ تمرينًا مدته 30 ثانية. هذه الصفحة هي ورقة المراجعة السريعة التي يمكنك إبقاؤها مفتوحة أثناء الواجب المنزلي.

لماذا تهم الأسس

قواعد الأسس ليست اعتباطية — فكلها تنبع من التعريف $a^n = \underbrace{a \cdot a \cdots a}_{n \text{ copies}}$. بمجرد أن ترى لماذا تعمل كل قاعدة، تتوقف عن الحفظ وتبدأ في الاشتقاق عند الحاجة.

القوانين السبعة الأساسية

#	القانون	مثال
1	$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$	$x^3 \cdot x^4 = x^7$
2	$a^m / a^n = a^{m-n}$	$x^7 / x^2 = x^5$
3	$(a^m)^n = a^{mn}$	$(x^2)^3 = x^6$
4	$(ab)^n = a^n b^n$	$(2x)^3 = 8x^3$
5	$(a/b)^n = a^n / b^n$	$(x/y)^4 = x^4/y^4$
6	$a^{-n} = 1/a^n$	$x^{-3} = 1/x^3$
7	$a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$	$8^{2/3} = (\sqrt[3]{8})^2 = 4$

بالإضافة إلى الحالتين التعريفيتين: $a^0 = 1$ لأي $a \ne 0$، و$a^1 = a$.

مثال محلول: دمج القواعد

بسّط $\frac{(2x^3)^2 \cdot x^{-4}}{4x^{-1}}$.

1. طبّق القاعدة 4 على القوس: $(2x^3)^2 = 4x^6$.
2. عوّض: $\frac{4x^6 \cdot x^{-4}}{4x^{-1}}$.
3. اختصر العددين 4: $\frac{x^6 \cdot x^{-4}}{x^{-1}}$.
4. ادمج البسط بالقاعدة 1: $\frac{x^2}{x^{-1}}$.
5. طبّق القاعدة 2: $x^{2 - (-1)} = x^3$.

التبسيط بأكمله ليس سوى مسك دفاتر — القواعد تحملك.

حدس الأسس السالبة والكسرية

الأس السالب لا يعني "عددًا سالبًا"؛ بل يعني المقلوب. إذًا $5^{-2} = 1/25$، وليس $-25$.

الأس الكسري $a^{p/q}$ هو جذر-ثم-قوة (أو قوة-ثم-جذر، الإجابة نفسها). يحدد المقام الجذر، ويحدد البسط القوة: $32^{3/5} = (\sqrt[5]{32})^3 = 2^3 = 8$.

أخطاء شائعة

• $(a + b)^n \ne a^n + b^n$ — الأسس لا توزَّع على الجمع. $(2 + 3)^2 = 25$، وليس $4 + 9$.
• $a^{-n} \ne -a^n$ — الأس السالب مقلوب، وليس نفيًا.
• $0^0$ بالاصطلاح يساوي $1$ في الجبر والتوافيق، لكنه غير معرَّف في بعض سياقات التحليل. احذر عند الشك.

جرّب باستخدام حلّال الأسس بالذكاء الاصطناعي

الصق أي تعبير في حلّال الأسس / التبسيط وستحصل على تبسيط خطوة بخطوة باستخدام القواعد أعلاه بالضبط.

روابط ذات صلة:

• حاسبة التبسيط — للتنظيف الجبري العام
• حاسبة اللوغاريتمات — العملية العكسية للأسس
• حاسبة كثيرات الحدود — حيث تظهر قواعد الأسس أكثر شيء